Mathematik 11/Rechnen mit Vektoren

Arbeitsblatt zum Rechnen mit Vektoren

Führt man zwei Verschiebungen hintereinander aus, so ergibt sich wieder eine neue Verschiebung. In der Abbildung werden die Verschiebungen der Vektoren ${\displaystyle \vec{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} }$ und ${\displaystyle \vec{BC} = \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix} }$ hintereinander ausgeführt. Zum gleichen Endzustand gelangt man jedoch auch, wenn nur die Verschiebung des Vektors $\vec{AC}$ ausgeführt wird.

Aufgabe

Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\vec{AC}$ an.
Stellen Sie eine Vermutung zur Beziehung zwischen dem Vektor $\vec{AC}$ und den Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ auf. Notieren Sie Ihre Hypothese. Vergleichen Sie anschließend mit der Lösung.

Lösung anzeigen

\vec{AC}=\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\vec{AB}+\vec{BC}

Merke

Sind zwei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ gegeben, dann heißt $\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}$ die Summe der Vektoren $a$ und $b$ .

Übung - Vektoraddition

Gegenvektor

Bearbeite folgende

Übung zur Vektoraddition

Merke

Gegeben ist der Vektor $\vec{a}$ . Der Vektor $-\vec{a}$ heißt Gegenvektor zu $\vec{a}$ .

Aufgabe

Das nebenstehende Applet zeigt einen Vektor $\vec{b}$ und seinen Gegenvektor $-\vec{b}$ .

Verändern Sie den Anfangs- und Endpunkt des Vektors $\vec{b}$ . Beobachten Sie dabei die Koordinaten des Gegenvektors.
Welchen Vektor erhält man, wenn man den Vektor $\vec{b}$ und seinen Gegenvektor $-\vec{b}$ addiert?

Lösung anzeigen

Addiert man zum Vektor $\vec{b}$ den Gegenvektor $-\vec{b}$ , so erhält man den Nullvektor: $\vec{b}+(-\vec{b})=\vec{b}-\vec{b}=\vec{0}$ .

Merke

Der Vektor $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ (bzw. $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ ) heißt Nullvektor und wird mit $\vec{0}$ bezeichnet.

Definition Vektoraddition

Vektorsubtraktion

Merke

Die Addition des Vektors $\vec{a}$ mit dem Gegenvektor von $\vec{b}$ entspricht der Subtraktion bzw. Differenz:

$\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix}$ .

Aufgabe

Ziehen Sie an den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Beobachten Sie dabei die Koordinaten von $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ .
Verschieben Sie die Spitze von $\vec{a}$ zur Spitze von $\vec{b}$ . Welchen Vektor erhalten Sie?

Lösung anzeigen

Man erhält den Nullvektor

\vec{0}

Verschieben Sie die Spitze von $\vec{a}$ zur Spitze von $-\vec{b}$ . Was fällt Ihnen auf?

Lösung anzeigen

Der Vektor

\vec{c}

entspricht einer Verdoppelung des Vektors

\vec{a}

bzw. des Vektors

-\vec{b}

Zusatz:

Weisen Sie durch Verschieben des Anfangspunktes von $\vec{a}$ nach, dass auch hier eine Hintereinanderausführung der Vektoren zum Ergebnis $\vec{c}$ führt.

Gegenvektor

Übungen

https://unterrichten.zum.de/wiki/WHG_Q1_Vektorrechnung/WHG_Q1_Kurze_Übungen_zur_Vektorsubtraktion

Sie sehen hier zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sowie einen Schieberegler für ein sogenanntes "Skalar" $t$ .

Aufgabe

Verändern Sie den Wert des Skalars $t$ durch Ziehen am Schieberegler. Geben Sie mit Hilfe der Darstellung eine Rechenvorschrift für die skalare Multiplikation (auch Skalarmultiplikation genannt) eines Vektors mit einer Zahl an und notieren Sie diese.

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