Beweis Potenzgesetze

Für $a,b>0$ und $r,s\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ gilt

1. $a^r{a}^s=a^{r+s}$ bzw. $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$
2. $a^r{b}^r=(ab{)}^r$ bzw. $\frac{a^r}{b^r}={\left(\frac{a}{b}\right)}^r$
3. $(a^r{)}^s=a^{rs}$

Beweis

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien $r=\frac{p}{q}$ und $s=\frac{p}{q^{\prime }}$, dann gelten:

Regel 1b:

$\begin{array}{rl}\frac{a^r}{a^s}& =a^{\frac{p}{q}}{a}^{-\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}}\\ & \downarrow \text{Definition}\\ & =\sqrt[q]{a^p}\frac{1}{\sqrt[q^{\prime }]{a^{p^{\prime }}}}\\ & \downarrow \text{Wurzeln angleichen}\\ & =\sqrt[q{q}^{\prime }]{a^{p{q}^{\prime }}}\frac{1}{\sqrt[q{q}^{\prime }]{a^{p^{\prime }q}}}\\ & =\frac{\sqrt[q{q}^{\prime }]{a^{p{q}^{\prime }}}}{\sqrt[q{q}^{\prime }]{a^{p^{\prime }q}}}\\ & \downarrow \text{Rechenregel für Wurzeln}\\ & =\sqrt[q{q}^{\prime }]{\frac{a^{p{q}^{\prime }}}{a^{p^{\prime }q}}}\\ & \downarrow \text{Rechenregel für Potenzen}\\ & =\sqrt[q{q}^{\prime }]{a^{p{q}^{\prime }-p^{\prime }q}}\\ & \downarrow \text{Definition}\\ & =a^{\frac{p{q}^{\prime }-p^{\prime }q}{q{q}^{\prime }}}\\ & =a^{\frac{p{q}^{\prime }}{q{q}^{\prime }}-\frac{p^{\prime }q}{q{q}^{\prime }}}\\ & =a^{\frac{p}{q}-\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}}\\ & =a^{r-s}\end{array}$

Regel 2b:

$\begin{array}{rl}\frac{a^r}{b^r}& =\frac{a^{\frac{p}{q}}}{b^{\frac{p}{q}}}\\ & \downarrow \text{Definition}\\ & =\frac{\sqrt[q]{a^p}}{\sqrt[q]{b^p}}\\ & \downarrow \text{Rechenregel für Wurzeln}\\ & =\sqrt[q]{\frac{a^p}{b^p}}\\ & \downarrow \text{Rechenregel für Potenzen}\\ & =\sqrt[q]{(\frac{a}{b}{)}^p}\\ & =(\frac{a}{b}{)}^{\frac{p}{q}}\\ & =(\frac{a}{b}{)}^r\end{array}$