Beweis Potenzgesetze

Potenzgesetze

Für $a,b>0$ und $r,s\in \mathbb {Q}$ gilt

1. $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$ bzw. ${\tfrac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}$
2. $a^{r}b^{r}=(ab)^{r}$ bzw. ${\tfrac {a^{r}}{b^{r}}}=\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{r}$
3. $(a^{r})^{s}=a^{rs}$

Beweis

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien $r={\tfrac {p}{q}}$ und $s={\tfrac {p}{q'}}$, dann gelten:

1. Regel

${\begin{aligned}a^{r}a^{s}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'+p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'+p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}+{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r+s}\end{aligned}}$

bzw.

${\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}$ Regel 2:

${\begin{aligned}a^{r}b^{r}&=a^{\tfrac {p}{q}}b^{\tfrac {p}{q}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{(ab)^{p}}}\\&=(ab)^{\tfrac {p}{q}}\\&=(ab)^{r}\end{aligned}}$