Beweis Potenzgesetze: Unterschied zwischen den Versionen
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====== '''Potenzgesetze''' ====== | |||
Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt | Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt | ||
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#<math>(a^r)^s=a^{rs}</math> | #<math>(a^r)^s=a^{rs}</math> | ||
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Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten: | Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten: | ||
'''1. Regel''' | |||
'''1. Regel''' | |||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\ | a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\ | ||
Version vom 13. Juni 2022, 19:00 Uhr
Potenzgesetze
Für und gilt
- bzw.
- bzw.
Beweis
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien und , dann gelten:
1. Regel
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{r}a^{s}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'+p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'+p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}+{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r+s}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85080cad9b0f941a505fc54f89597c1b7fe0c604)
bzw.
Regel 2:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ce0d53dd873cca8a520672401cdfffc26a72c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{r}b^{r}&=a^{\tfrac {p}{q}}b^{\tfrac {p}{q}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{(ab)^{p}}}\\&=(ab)^{\tfrac {p}{q}}\\&=(ab)^{r}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155fb46a30adbf493f7afd9c04e7a578e22c2457)
