Beweis Potenzgesetze: Unterschied zwischen den Versionen
Aus RMG-Wiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt | Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt | ||
#<math>a^ra^s=a^{r+s}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math> | |||
#<math>a^rb^r=(ab)^{r}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r</math> | |||
#<math>(a^r)^s=a^{rs}</math> | |||
'''Beweis''' | |||
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten: | Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten: | ||
'''Regel | '''1. Regel''' | ||
<math>\begin{align} | |||
a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\ | a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\ | ||
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | ||
| Zeile 25: | Zeile 26: | ||
& = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\ | & = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\ | ||
& = a^{r+s} | & = a^{r+s} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
bzw. | |||
<math>\begin{align} | |||
\frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\ | \frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\ | ||
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | ||
| Zeile 44: | Zeile 46: | ||
& = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\ | & = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\ | ||
& = a^{r-s} | & = a^{r-s} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
'''Regel 2:''' | |||
'''Regel | |||
<math>\begin{align} | |||
a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\ | a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\ | ||
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | ||
| Zeile 76: | Zeile 59: | ||
& = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\ | & = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\ | ||
& = (ab)^r | & = (ab)^r | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Version vom 13. Juni 2022, 13:00 Uhr
Für und gilt
- bzw.
- bzw.
Beweis
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien und , dann gelten:
1. Regel
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{r}a^{s}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'+p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'+p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}+{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r+s}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85080cad9b0f941a505fc54f89597c1b7fe0c604)
bzw.
Regel 2:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ce0d53dd873cca8a520672401cdfffc26a72c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{r}b^{r}&=a^{\tfrac {p}{q}}b^{\tfrac {p}{q}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{(ab)^{p}}}\\&=(ab)^{\tfrac {p}{q}}\\&=(ab)^{r}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155fb46a30adbf493f7afd9c04e7a578e22c2457)
