Mathematik 6/Parallelogramm

Das Parallelogramm

Wiederholung: Ein Parallelogramm ist ein ...

1) Höhen im Parallelogramm

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.

Höhen im Parallelogramm

Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite zeichnest und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

Höhen im Parallelogramm zeichnen

Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h_a und h_b.

Falls du Schwierigkeiten damit hast, helfen dir die Bildfolgen im Original des Lernpfads.

Und nun im Heft...

Übung 2: Höhen zeichnen

Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.

2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u

Idee

Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.

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Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙h_a oder A = b∙h_b; allgemein: A = g∙h
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).

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Übung

Bearbeite die nachfolgenden Learningapps und das Applet.
Schreibe zur ersten App die Aufgaben dazu strukturiert ein dein Heft.

In der zweiten App darfst du "nur" rechnen und auch im Geogebra-Applet gib "nur" das Ergebnis in das entsprechende Feld ein.

Übung

Bearbeite folgende Aufgaben:

• S. 140/5
• S. 141/9a,b jeweils (1) bis (3)
• S. 141/10 a und b (Überlege vor dem Zeichnen des Koordinatensystems, wie groß es werden muss.)

Übung

Bearbeite folgende Aufgabe:

• S. 142/17

3) Formeln umstellen

Umstellen der Formel

Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.

Umstellen nach einer Seite:

A = a∙h_a   |:h_a
$\tfrac{A}{ha}$ = a
a = $\tfrac{A}{ha}$

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙h_a   |:a
$\tfrac{A}{a}$ = h_a

h_a = $\tfrac{A}{a}$

Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b   |-2b
u - 2b = 2a   |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
$\tfrac{u}{2}$ - b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.

Übung

Löse die nachfolgende LearningApps. Schreibe die Aufgabe struktuiert in deinem Heft mit.

Übung

Ein Parallelogramm hat den angegebenen Flächeninhalt. Gib jeweils zwei Möglichkeiten für g und h_g an und zeichne die Parallelogramme.
a) A = 24 cm²

b) A = 0,45dm²

Raute: Umfang und Flächeninhalt

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.

Vorlage:Icon point

Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?

Flächeninhalt und Umfang einer Raute

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:
A = a∙h_a

Datei:Raute mit Diagonalen.png

Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:

A = $\frac{\text{e*f}}{\text{2}}$

Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit

u = 4a .