Mathematik 12/Integralrechnung

Das Flächenproblem

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.

Unter- und Obersumme - Video

Eine Möglichkeit ist es, die Fläche mit Hilfe von Streifen zu zerlegen und eine Annährung zu berechnen. Man bildet die Unter- und Obersumme. Eine genaue Erklärung gibts im Video.

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Unter- und Obersumme - Beispielaufgaben

Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².

1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.

Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.

Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:

x   : 0   0,5      1    1,5   2   2,5      3     3,5   4
---------------------------------------------------------
f(x): 0  0,0625  0,25  05625  1  1,5625  2,25  3,0625  4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) $\cdot$ 0,5 + f (1) $\cdot$ 0,5 + .....f (4) $\cdot$ 0,5 = 0,5 $\cdot$f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) $\cdot$ 0,5 + f (0,5) $\cdot$ 0,5 + .....f (3,5) $\cdot$ 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375

Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².

1. Zerlege das Intervall [2;5] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme für verschiedene Werte mit dem Applet.
2. Fasse zusammen, was mit der Unter- und Obersumme passiert, wenn die Anzahl der Teilintervalle erhöht wird.

Je höher die Anzahl der Teilintervalle, desto besser ist die Flächenabschätzung. Geht die Anzahl gegen unendlich nähern sich die beiden Werte immer weiter an und haben einen gemeinsamen Grenzwert.