Benutzer:Karina Hetterich/Wiederholung ManipulationFunktionen

Wiederholung Verschieben/Strecken/Spiegeln von Funktionen

Dies hier ist eine kleine Wiederholung, um zu sehen wie ein Parameter den Funktionsgraph beeinflusst.

Verschieben

In der Funktion j mit dem Termj(x)=(x - a)³ + b sehen wir beide Möglichkeiten der Verschiebung.

Wie wirkt sich die Veränderung von a und b auf den Graphen der Funktion j aus?

Kannst du eine allgemeine Regel aufstellen?

Allgemein gilt:
Betrachtet man den Term f(x - a) + b, wird der Graph von f um a Einheiten auf der x - Achse und um b Einheiten auf der y - Achse verschoben.
Für a < 0 wird der Graph nach links, für a > 0 nach rechts verschoben.
Der Parameter b < 0 sorgt für eine Verschiebung des Graphen nach unten, b > 0 nach oben.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in x-Richtung

Gegeben ist die Funktion f: x -> x⁴ - 3x² + 1,
sowie zwei weitere Funktionen g(x) = f (a ∙ x), für a > 1, und h(x) = f (a ∙ x), für a < 1.

Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen f, g und h mit den Koordinatenachsen.
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?
Setzte den Schieberegler a auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.

Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?

Lösung aufdecken

MERKE:

Die x- Werte einer Funktion g(x) = f (a ∙ x), für a > 0, sind immer ${\frac {1}{a}}$-mal so weit von der y- Achse entfernt, wie die x- Werte von f.
Der Graph von g wird von der y- Achse aus in x- Richtung mit dem Streckungsfaktor ${\frac {1}{a}}$ gestreckt.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in y-Richtung

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x⁴ - 3x² + 1.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine weitere Funktion g(x) = a ∙ f(x), für a > 1,
bzw. eine Funktion h(x) = a ∙ f(x), für 0 < a < 1 anzeigen.

Wie verändert sich g, bzw. h, wenn a größer oder kleiner wird?
Achte dabei besonders auf die drei markierten Punkte.

Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.
An diesen Stellen entspricht der Faktor a genau dem Funktionswert von g, bzw. h.

MERKE:

Für eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) mit a > 1 sind die Funktionswerte von g immer a-mal so weit von der x- Achse entfernt, wie die Funktionswerte von f.
Man spricht von einer Streckung des Graphen von g in y- Richtung mit dem Streckungsfaktor a.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Spiegeln

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x³ - x² - x + 2.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) und durch den Schieberegler c eine Funktion h(x) = f(c∙x), anzeigen.

Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.

MERKE:

Ist folgender Zusammenhang gegeben: g(x) = a∙f(x) mit a = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der x-Achse gespiegelt.

Ist folgender Zusammenhang gegeben: h(x) = f(c∙x) mit c = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der y-Achse gespiegelt.

Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [Lernpfad]

Veränderungen aller Parameter

Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.

Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = a∙f(b∙(x -c))+d

Hier gilt:

• Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
• Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
• Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst Strecken, dann verschieben.

Es folgt also:

• Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
• Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
• Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
• Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung

ACHTUNG: Lautet der Term g(x) = a∙f(b∙x -c)+d ist es wieder anders

Hier gilt:

• Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
• Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
• Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst verschieben, dann Strecken.

Es folgt also:

• Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
• Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
• Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
• Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung

Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen.

Übung 1: [Die allgemeine Sinusfunktion]