Beweis Potenzgesetze

Für $a,b>0$ und $r,s \in \Q$ gilt

1. $a^ra^s=a^{r+s}$ bzw. $\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$
2. $a^rb^r=(ab)^{r}$ bzw. $\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r$
3. $(a^r)^s=a^{rs}$

Beweis

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien $r=\tfrac pq$ und $s=\tfrac{p}{q'}$, dann gelten:

Regel 1:

$\begin{align} a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\ & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ & = \sqrt[q]{a^p} \sqrt[q']{a^{p'}} \\ & \left\downarrow \ \text{Wurzeln angleichen} \right.\\ & = \sqrt[qq']{a^{pq'}} \sqrt[qq']{a^{p'q}} \\ & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\ & = \sqrt[qq']{a^{pq'}a^{p'q}}\\ & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\ & = \sqrt[qq']{a^{pq'+p'q}}\\ & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ & = a^{\tfrac{pq'+p'q}{qq'}}\\ & = a^{\tfrac{pq'}{qq'}+\tfrac{p'q}{qq'}}\\ & = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\ & = a^{r+s} \end{align}$

bzw.

$\begin{align} \frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\ & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ & = \sqrt[q]{a^p} \frac{1}{\sqrt[q']{a^{p'}}} \\ & \left\downarrow \ \text{Wurzeln angleichen} \right.\\ & = \sqrt[qq']{a^{pq'}} \frac{1}{\sqrt[qq']{a^{p'q}}} \\ & = \frac{\sqrt[qq']{a^{pq'}}}{\sqrt[qq']{a^{p'q}}} \\ & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\ & = \sqrt[qq']{\frac{a^{pq'}}{a^{p'q}}}\\ & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\ & = \sqrt[qq']{a^{pq'-p'q}}\\ & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ & = a^{\tfrac{pq'-p'q}{qq'}}\\ & = a^{\tfrac{pq'}{qq'}-\tfrac{p'q}{qq'}}\\ & = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\ & = a^{r-s} \end{align}$

Regel 2:

$\begin{align} a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\ & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ & = \sqrt[q]{a^p}\sqrt[q]{b^{p}}\\ & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\ & = \sqrt[q]{a^pb^p} \\ & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\ & = \sqrt[q]{(ab)^{p}} \\ & = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\ & = (ab)^r \end{align}$