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| {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
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| == Definition der Potenz mit rationalem Exponenten ==
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| Im letzten Kapitel haben wir einige Rechenregeln für die Wurzel hergeleitet. Dabei haben wir u.a. die Regel <math>\sqrt[k]{a^l} = (\sqrt[k]{a})^l</math> gezeigt. In der Potenzschreibweise der Wurzel lautet diese
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| {{Formel|<math>(a^l)^{\tfrac 1k} = (a^{\tfrac 1k})^l</math>}}
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| Wurzelziehen und Potenzieren lassen sich also vertauschen. Daher definieren wir allgemein:
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| {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
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| |titel=Potenz mit rationalen Expoenenten
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| |definition=
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| Für reelles <math>a>0</math> und rationales <math>r=\tfrac pq</math> definieren wir
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| {{Formel|<math>a^r = a^{\tfrac pq} = \sqrt[q]{a^p}</math> und <math>a^{-r} = a^{-\tfrac pq} = \tfrac{1}{\sqrt[q]{a^p}}</math>}}
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| Außerdem setzen wir <math>0^r = 0</math>.
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| }}
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| == Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten ==
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| {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
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| |titel=Rechenregeln
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| |satz=
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| Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt | | Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt |
| # <math>a^ra^s=a^{r+s}</math> | | # <math>a^ra^s=a^{r+s}</math> |
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| \end{align}</math>}} | | \end{align}</math>}} |
| }} | | }} |
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| == Ausblick: Potenzen mit reellen Exponenten ==
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| Später werden wir noch Potenzen mit reellen Exponenten definieren. Dafür benötigen wir allerdings die Exponentialfunktion <math>\exp</math> und die (natürliche) Logarithmusfunktion <math>\ln</math>. Mit diesen ist dann für positive <math>a</math> und reelle <math>r</math>:
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| {{Formel|<math>a^r = \exp(r \ln(a))</math>}}
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| Wir werden sehen, dass auch für diese Verallgemeinerung dieselben Rechenregeln gelten.
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| {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}
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Version vom 13. Juni 2022, 12:49 Uhr
Für 
und 
gilt
|beweis=
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien 
und 
, dann gelten:
Regel 1:
Vorlage:Formel
Regel 2:
Vorlage:Formel
Regel 3:
Vorlage:Formel
Regel 4:
Vorlage:Formel
Regel 5:
Vorlage:Formel
}}
