Beweis Potenzgesetze: Unterschied zwischen den Versionen

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Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt
Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt
# <math>a^ra^s=a^{r+s}</math>
# <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math>
# <math>(a^r)^s=a^{rs}</math>
# <math>a^rb^r=(ab)^{r}</math>
# <math>\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r</math>


|beweis=
#<math>a^ra^s=a^{r+s}</math>    bzw.      <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math>
#<math>a^rb^r=(ab)^{r}</math>    bzw.      <math>\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r</math>
#<math>(a^r)^s=a^{rs}</math>
 
'''Beweis'''
 
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten:  
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten:  


'''Regel 1:'''  
'''1. Regel'''
{{Formel|<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\
a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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& = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\
& = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\
& = a^{r+s}
& = a^{r+s}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>
 
bzw.


'''Regel 2:'''
<math>\begin{align}
{{Formel|<math>\begin{align}
\frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\
\frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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& = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\
& = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\
& = a^{r-s}
& = a^{r-s}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>
 
'''Regel 2:'''  
'''Regel 3:'''  
{{Formel|<math>\begin{align}
(a^r)^s & = (a^{\tfrac pq})^{\tfrac{p'}{q'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = \sqrt[q']{(\sqrt[q]{a^p})^{p'}}\\
& \left\downarrow \ \text{Wurzeln und Potenz vertauschen} \right.\\
& = \left(\sqrt[q']{\sqrt[q]{a^p}}\right)^{p'} \\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& = \left(\sqrt[qq']{a^{p}}\right)^{p'} \\
& \left\downarrow \ \text{Wurzeln und Potenz vertauschen} \right.\\
& = \sqrt[qq']{(a^{p})^{p'}}\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& = \sqrt[qq']{a^{pp'}}\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = a^{\tfrac{pp'}{qq'}}\\
& = a^{\tfrac{p}{q}\cdot \tfrac{p'}{q'}}\\
& = a^{rs}
\end{align}</math>}}


'''Regel 4:'''
<math>\begin{align}
{{Formel|<math>\begin{align}
a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\
a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
Zeile 76: Zeile 59:
& = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
& = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
& = (ab)^r
& = (ab)^r
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>
 
'''Regel 5:'''
{{Formel|<math>\begin{align}
\frac{a^r}{b^r} & = \frac{a^{\tfrac pq}}{b^{\tfrac{p}{q}}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = \frac{\sqrt[q]{a^p}}{\sqrt[q]{b^{p}}}\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& = \sqrt[q]{\frac{a^p}{b^p}} \\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& = \sqrt[q]{(\frac{a}{b})^{p}} \\
& = (\frac ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
& = (\frac ab)^r
\end{align}</math>}}
}}

Version vom 13. Juni 2022, 13:00 Uhr

Für und gilt

  1. bzw.
  2. bzw.

Beweis

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien und , dann gelten:

1. Regel

bzw.

Regel 2:

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