Benutzer:Karina Hetterich/Wiederholung ManipulationFunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f ( | sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (b ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">b</span> < 1.<br /> | ||
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Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br /> | Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br /> | ||
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Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br /> | Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br /> | ||
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|g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br /> | {{Lösung versteckt | ||
|<math forcemathmode="png">g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br /> | <math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br /> | ||
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Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten. | Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.</math> | ||
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Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br /> | Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br /> | ||
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br /> | Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br /> | ||
bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = | bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = b ∙ f(x)</span>''', für 0 <<span style="color: red"> b</span> < 1 anzeigen.<br /> | ||
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Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br /> | Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br /> | ||
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Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br /> | Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br /> | ||
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* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst verschieben, dann Strecken. | * Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst verschieben, dann Strecken. | ||
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* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung | * Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung | ||
'''Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung | '''Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen. ''' | ||
Übung 1: [[http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik_10/Die_allgemeine_Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion]] | Übung 1: [[http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik_10/Die_allgemeine_Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion]] | ||
Aktuelle Version vom 1. April 2020, 09:30 Uhr
Wiederholung Verschieben/Strecken/Spiegeln von Funktionen
Dies hier ist eine kleine Wiederholung, um zu sehen wie ein Parameter den Funktionsgraph beeinflusst.
Verschieben
In der Funktion j mit dem Termj(x)=(x - a)³ + b sehen wir beide Möglichkeiten der Verschiebung.
Wie wirkt sich die Veränderung von a und b auf den Graphen der Funktion j aus?
Kannst du eine allgemeine Regel aufstellen?
Allgemein gilt:
Betrachtet man den Term f(x - a) + b, wird der Graph von f um a Einheiten auf der x - Achse und um b Einheiten auf der y - Achse verschoben.
Für a < 0 wird der Graph nach links, für a > 0 nach rechts verschoben.
Der Parameter b < 0 sorgt für eine Verschiebung des Graphen nach unten, b > 0 nach oben.
Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]
Strecken in x-Richtung
Gegeben ist die Funktion f: x -> x4 - 3x2 + 1,
sowie zwei weitere Funktionen g(x) = f (a ∙ x), für a > 1, und h(x) = f (b ∙ x), für b < 1.
Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen f, g und h mit den Koordinatenachsen.
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?
Setzte den Schieberegler a auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.
Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?
{{{1}}}
MERKE:
Die x- Werte einer Funktion g(x) = f (a ∙ x), für a > 0, sind immer -mal so weit von der y- Achse entfernt, wie die x- Werte von f.
Der Graph von g wird von der y- Achse aus in x- Richtung mit dem Streckungsfaktor gestreckt.
Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]
Strecken in y-Richtung
Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x4 - 3x2 + 1.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine weitere Funktion g(x) = a ∙ f(x), für a > 1,
bzw. eine Funktion h(x) = b ∙ f(x), für 0 < b < 1 anzeigen.
Wie verändert sich g, bzw. h, wenn a größer oder kleiner wird?
Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.
An diesen Stellen entspricht der Faktor a genau dem Funktionswert von g, bzw. h.
MERKE:
Für eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) mit a > 1 sind die Funktionswerte von g immer a-mal so weit von der x- Achse entfernt, wie die Funktionswerte von f.
Man spricht von einer Streckung des Graphen von g in y- Richtung mit dem Streckungsfaktor a.
Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]
Spiegeln
Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x3 - x2 - x + 2.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) und durch den Schieberegler c
eine Funktion h(x) = f(c∙x), anzeigen.
Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.
MERKE:
Ist folgender Zusammenhang gegeben: g(x) = a∙f(x) mit a = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der x-Achse gespiegelt.
Ist folgender Zusammenhang gegeben: h(x) = f(c∙x) mit c = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der y-Achse gespiegelt.
Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [Lernpfad]
Veränderungen aller Parameter
Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.
Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = a∙f(b∙(x -c))+d
Hier gilt:
- Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
- Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
- Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst Strecken, dann verschieben.
Es folgt also:
- Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
- Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
- Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
- Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
ACHTUNG: Lautet der Term g(x) = a∙f(b∙x -c)+d ist es wieder anders
Hier gilt:
- Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
- Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
- Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst verschieben, dann Strecken.
Es folgt also:
- Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
- Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
- Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
- Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen.
Übung 1: [Die allgemeine Sinusfunktion]
