Benutzer:Karina Hetterich/Wiederholung ManipulationFunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion '''f: x -> x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1''', <br />
Gegeben ist die Funktion '''f: x -> x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1''', <br />
sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> < 1.<br />
sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (b ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">b</span> < 1.<br />
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Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
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Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br />
Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br />


<ggb_applet width="789" height="473" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" useLocalJar="true"/>
<ggb_applet id="rgaxcjn9" width="600" height="660" />


{{Lösung versteckt|Betrachte den Schnittpunkt S<sub>f</sub>('''1,62'''/0) von f mit der x- Achse.<br />
 
g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br />
{{Lösung versteckt
|<math forcemathmode="png">g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br />
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.
Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.</math>
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
}}
<br />
 
 


<div class="lueckentext-quiz">MERKE:
<div class="lueckentext-quiz">MERKE:
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Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br />
Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br />
bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = a ∙ f(x)</span>''', für 0 <<span style="color: red"> a</span> < 1 anzeigen.<br />
bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = b ∙ f(x)</span>''', für 0 <<span style="color: red"> b</span> < 1 anzeigen.<br />
<br />
<br />
Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br />
Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br />
Achte dabei besonders auf die drei markierten Punkte.


<ggb_applet width="766" height="594" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" useLocalJar="true"/>
 
<br>
<ggb_applet id="rz5mscc2" width="600" height="610" />
 


Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br />
Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br />
Zeile 81: Zeile 83:
Man spricht von einer '''Streckung''' des Graphen von g in '''y'''- Richtung mit dem '''Streckungsfaktor''' a.<br />
Man spricht von einer '''Streckung''' des Graphen von g in '''y'''- Richtung mit dem '''Streckungsfaktor''' a.<br />
</div>
</div>
</td></tr></table></center>
 
 
Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [[https://projektwiki.zum.de/wiki/Manipulationen_an_Funktionen/Strecken_und_Spiegeln_von_Funktionsgraphen/Streckung_in_y-_Richtung Lernpfad]]
 
===Spiegeln===
Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>3</sup> - x<sup>2</sup> - x + 2'''.<br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''' und durch den <span style="color: red">Schieberegler c</span>
eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f(c∙x)</span>''', anzeigen.<br />
<br />
Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.
 
<ggb_applet id="efpcktta" width="600" height="600" />
 
<div class="lueckentext-quiz"> MERKE:
Ist folgender Zusammenhang gegeben:  g(x) = <span style="color: red">a</span>∙f(x) mit a = -1. So gilt: <br>
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der '''x-Achse''' gespiegelt. <br />
 
Ist folgender Zusammenhang gegeben:  h(x) = f(<span style="color: red">c</span>∙x) mit c = -1. So gilt: <br>
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der '''y-Achse''' gespiegelt.
<br />
</div>
</div>
Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [[https://projektwiki.zum.de/wiki/Manipulationen_an_Funktionen/Strecken_und_Spiegeln_von_Funktionsgraphen Lernpfad]]
=== Veränderungen aller Parameter===
Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.
Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = <span style="color: blue">a</span>∙f(<span style="color: red">b</span>∙(x -<span style="color: Green">c</span>))+<span style="color: orange">d</span>
Hier gilt:
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst Strecken, dann verschieben.
Es folgt also:
* Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
* Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
* Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
ACHTUNG:
Lautet der Term g(x) = <span style="color: blue">a</span>∙f(<span style="color: red">b</span>∙x -<span style="color: Green">c</span>)+<span style="color: orange">d</span> ist es wieder anders
Hier gilt:
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst verschieben, dann Strecken.
Es folgt also:
* Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
* Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
* Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
'''Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen. '''
Übung 1: [[http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik_10/Die_allgemeine_Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion]]

Aktuelle Version vom 1. April 2020, 09:30 Uhr

Wiederholung Verschieben/Strecken/Spiegeln von Funktionen

Dies hier ist eine kleine Wiederholung, um zu sehen wie ein Parameter den Funktionsgraph beeinflusst.

Verschieben

In der Funktion j mit dem Termj(x)=(x - a)³ + b sehen wir beide Möglichkeiten der Verschiebung.

Wie wirkt sich die Veränderung von a und b auf den Graphen der Funktion j aus?

Kannst du eine allgemeine Regel aufstellen?

GeoGebra



Allgemein gilt:
Betrachtet man den Term f(x - a) + b, wird der Graph von f um a Einheiten auf der x - Achse und um b Einheiten auf der y - Achse verschoben.
Für a < 0 wird der Graph nach links, für a > 0 nach rechts verschoben.
Der Parameter b < 0 sorgt für eine Verschiebung des Graphen nach unten, b > 0 nach oben.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in x-Richtung

Gegeben ist die Funktion f: x -> x4 - 3x2 + 1,
sowie zwei weitere Funktionen g(x) = f (a ∙ x), für a > 1, und h(x) = f (b ∙ x), für b < 1.

Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen f, g und h mit den Koordinatenachsen.
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?
Setzte den Schieberegler a auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.

Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?

GeoGebra


{{{1}}}


MERKE:

Die x- Werte einer Funktion g(x) = f (a ∙ x), für a > 0, sind immer -mal so weit von der y- Achse entfernt, wie die x- Werte von f.
Der Graph von g wird von der y- Achse aus in x- Richtung mit dem Streckungsfaktor gestreckt.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in y-Richtung

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x4 - 3x2 + 1.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine weitere Funktion g(x) = a ∙ f(x), für a > 1,
bzw. eine Funktion h(x) = b ∙ f(x), für 0 < b < 1 anzeigen.

Wie verändert sich g, bzw. h, wenn a größer oder kleiner wird?


GeoGebra


Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.
An diesen Stellen entspricht der Faktor a genau dem Funktionswert von g, bzw. h.

MERKE:

Für eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) mit a > 1 sind die Funktionswerte von g immer a-mal so weit von der x- Achse entfernt, wie die Funktionswerte von f.
Man spricht von einer Streckung des Graphen von g in y- Richtung mit dem Streckungsfaktor a.


Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Spiegeln

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x3 - x2 - x + 2.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) und durch den Schieberegler c eine Funktion h(x) = f(c∙x), anzeigen.

Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.

GeoGebra
MERKE:

Ist folgender Zusammenhang gegeben: g(x) = a∙f(x) mit a = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der x-Achse gespiegelt.

Ist folgender Zusammenhang gegeben: h(x) = f(c∙x) mit c = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der y-Achse gespiegelt.

Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [Lernpfad]

Veränderungen aller Parameter

Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.

Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = a∙f(b∙(x -c))+d

Hier gilt:

  • Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
  • Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
  • Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst Strecken, dann verschieben.

Es folgt also:

  • Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
  • Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
  • Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
  • Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung

ACHTUNG: Lautet der Term g(x) = a∙f(b∙x -c)+d ist es wieder anders

Hier gilt:

  • Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
  • Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
  • Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst verschieben, dann Strecken.

Es folgt also:

  • Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
  • Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
  • Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
  • Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung

Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen.

Übung 1: [Die allgemeine Sinusfunktion]