Benutzer:Karina Hetterich/Wiederholung ManipulationFunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion '''f: x -> x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1''', <br />
Gegeben ist die Funktion '''f: x -> x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1''', <br />
sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> < 1.<br />
sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (b ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">b</span> < 1.<br />
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Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
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Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br />
Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br />


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<popup name="Lösung">
 
Betrachte den Schnittpunkt S<sub>f</sub>('''1,62'''/0) von f mit der x- Achse.<br />
{{Lösung versteckt
g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br />
|<math forcemathmode="png">g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br />
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.
Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.</math>
</popup>
}}
<br />
 
<br />
 
<big>Übertrage die Lücken, nachdem du sie hier überprüft hast, auf dein Arbeitsblatt.</big><br />


<div class="lueckentext-quiz">MERKE:
<div class="lueckentext-quiz">MERKE:
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</td></tr></table></center>
</td></tr></table></center>
</div>
</div>
Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [[https://projektwiki.zum.de/wiki/Manipulationen_an_Funktionen/Strecken_und_Spiegeln_von_Funktionsgraphen/Streckung_in_x-_Richtung Lernpfad]]
===Strecken in y-Richtung===
Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br />
bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = b ∙ f(x)</span>''', für 0 <<span style="color: red"> b</span> < 1 anzeigen.<br />
<br />
Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br />
<ggb_applet id="rz5mscc2" width="600" height="610" />
Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br />
An diesen Stellen entspricht der Faktor <span style="color: red">a</span> genau dem Funktionswert von g, bzw. h.<br />
<br>
<div class="lueckentext-quiz"> MERKE:
Für eine Funktion  g(x) = <span style="color: red">a</span> ∙ f(x) mit a > 1 sind die Funktionswerte von '''g''' immer '''a-mal''' so weit von der '''x'''- Achse entfernt, wie die Funktionswerte von '''f'''. <br />
Man spricht von einer '''Streckung''' des Graphen von g in '''y'''- Richtung mit dem '''Streckungsfaktor''' a.<br />
</div>
Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [[https://projektwiki.zum.de/wiki/Manipulationen_an_Funktionen/Strecken_und_Spiegeln_von_Funktionsgraphen/Streckung_in_y-_Richtung Lernpfad]]
===Spiegeln===
Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>3</sup> - x<sup>2</sup> - x + 2'''.<br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''' und durch den <span style="color: red">Schieberegler c</span>
eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f(c∙x)</span>''', anzeigen.<br />
<br />
Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.
<ggb_applet id="efpcktta" width="600" height="600" />
<div class="lueckentext-quiz"> MERKE:
Ist folgender Zusammenhang gegeben:  g(x) = <span style="color: red">a</span>∙f(x) mit a = -1. So gilt: <br>
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der '''x-Achse''' gespiegelt. <br />
Ist folgender Zusammenhang gegeben:  h(x) = f(<span style="color: red">c</span>∙x) mit c = -1. So gilt: <br>
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der '''y-Achse''' gespiegelt.
<br />
</div>
Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [[https://projektwiki.zum.de/wiki/Manipulationen_an_Funktionen/Strecken_und_Spiegeln_von_Funktionsgraphen Lernpfad]]
=== Veränderungen aller Parameter===
Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.
Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = <span style="color: blue">a</span>∙f(<span style="color: red">b</span>∙(x -<span style="color: Green">c</span>))+<span style="color: orange">d</span>
Hier gilt:
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst Strecken, dann verschieben.
Es folgt also:
* Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
* Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
* Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
ACHTUNG:
Lautet der Term g(x) = <span style="color: blue">a</span>∙f(<span style="color: red">b</span>∙x -<span style="color: Green">c</span>)+<span style="color: orange">d</span> ist es wieder anders
Hier gilt:
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst verschieben, dann Strecken.
Es folgt also:
* Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
* Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
* Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
'''Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen. '''
Übung 1: [[http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik_10/Die_allgemeine_Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion]]

Aktuelle Version vom 1. April 2020, 09:30 Uhr

Wiederholung Verschieben/Strecken/Spiegeln von Funktionen

Dies hier ist eine kleine Wiederholung, um zu sehen wie ein Parameter den Funktionsgraph beeinflusst.

Verschieben

In der Funktion j mit dem Termj(x)=(x - a)³ + b sehen wir beide Möglichkeiten der Verschiebung.

Wie wirkt sich die Veränderung von a und b auf den Graphen der Funktion j aus?

Kannst du eine allgemeine Regel aufstellen?

GeoGebra



Allgemein gilt:
Betrachtet man den Term f(x - a) + b, wird der Graph von f um a Einheiten auf der x - Achse und um b Einheiten auf der y - Achse verschoben.
Für a < 0 wird der Graph nach links, für a > 0 nach rechts verschoben.
Der Parameter b < 0 sorgt für eine Verschiebung des Graphen nach unten, b > 0 nach oben.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in x-Richtung

Gegeben ist die Funktion f: x -> x4 - 3x2 + 1,
sowie zwei weitere Funktionen g(x) = f (a ∙ x), für a > 1, und h(x) = f (b ∙ x), für b < 1.

Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen f, g und h mit den Koordinatenachsen.
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?
Setzte den Schieberegler a auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.

Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?

GeoGebra


{{{1}}}


MERKE:

Die x- Werte einer Funktion g(x) = f (a ∙ x), für a > 0, sind immer -mal so weit von der y- Achse entfernt, wie die x- Werte von f.
Der Graph von g wird von der y- Achse aus in x- Richtung mit dem Streckungsfaktor gestreckt.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in y-Richtung

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x4 - 3x2 + 1.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine weitere Funktion g(x) = a ∙ f(x), für a > 1,
bzw. eine Funktion h(x) = b ∙ f(x), für 0 < b < 1 anzeigen.

Wie verändert sich g, bzw. h, wenn a größer oder kleiner wird?


GeoGebra


Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.
An diesen Stellen entspricht der Faktor a genau dem Funktionswert von g, bzw. h.

MERKE:

Für eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) mit a > 1 sind die Funktionswerte von g immer a-mal so weit von der x- Achse entfernt, wie die Funktionswerte von f.
Man spricht von einer Streckung des Graphen von g in y- Richtung mit dem Streckungsfaktor a.


Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Spiegeln

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x3 - x2 - x + 2.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) und durch den Schieberegler c eine Funktion h(x) = f(c∙x), anzeigen.

Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.

GeoGebra
MERKE:

Ist folgender Zusammenhang gegeben: g(x) = a∙f(x) mit a = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der x-Achse gespiegelt.

Ist folgender Zusammenhang gegeben: h(x) = f(c∙x) mit c = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der y-Achse gespiegelt.

Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [Lernpfad]

Veränderungen aller Parameter

Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.

Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = a∙f(b∙(x -c))+d

Hier gilt:

  • Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
  • Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
  • Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst Strecken, dann verschieben.

Es folgt also:

  • Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
  • Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
  • Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
  • Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung

ACHTUNG: Lautet der Term g(x) = a∙f(b∙x -c)+d ist es wieder anders

Hier gilt:

  • Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
  • Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
  • Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst verschieben, dann Strecken.

Es folgt also:

  • Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
  • Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
  • Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
  • Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung

Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen.

Übung 1: [Die allgemeine Sinusfunktion]