Beweis Potenzgesetze: Unterschied zwischen den Versionen

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====== '''Potenzgesetze''' ======
Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt
Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt


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#<math>(a^r)^s=a^{rs}</math>
#<math>(a^r)^s=a^{rs}</math>


====== '''Beweis''' ======
======'''<big>Beweis</big>'''======
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten:  
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten:  
'''1. Regel'''
<math>\begin{align}
a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = \sqrt[q]{a^p} \sqrt[q']{a^{p'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Wurzeln angleichen} \right.\\
& = \sqrt[qq']{a^{pq'}} \sqrt[qq']{a^{p'q}} \\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& = \sqrt[qq']{a^{pq'}a^{p'q}}\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& = \sqrt[qq']{a^{pq'+p'q}}\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = a^{\tfrac{pq'+p'q}{qq'}}\\
& = a^{\tfrac{pq'}{qq'}+\tfrac{p'q}{qq'}}\\
& = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\
& = a^{r+s}
\end{align}</math>
bzw.


<math>\begin{align}
<font color="#89AC76">'''Regel 1b:'''</font>
<p align="left"><math>\begin{align}
\frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\
\frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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& = a^{r-s}
& = a^{r-s}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
'''Regel 2:'''
</p>


<math>\begin{align}
<font color="#89AC76">'''Regel 2b:'''</font>
a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\
<p align="left"> <math>\begin{align}
\frac{a^r}{b^r} & = \frac{a^{\tfrac pq}}{b^{\tfrac{p}{q}}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = \sqrt[q]{a^p}\sqrt[q]{b^{p}}\\
& = \frac{\sqrt[q]{a^p}}{\sqrt[q]{b^{p}}}\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& = \sqrt[q]{a^pb^p} \\
& = \sqrt[q]{\frac{a^p}{b^p}} \\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& = \sqrt[q]{(ab)^{p}} \\
& = \sqrt[q]{(\frac{a}{b})^{p}} \\
& = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
& = (\frac ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
& = (ab)^r
& = (\frac ab)^r
\end{align}</math>
\end{align}</math></p>

Aktuelle Version vom 15. Juni 2022, 21:14 Uhr

Für und gilt

  1. bzw.
  2. bzw.
Beweis

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien und , dann gelten:

Regel 1b:

Regel 2b: