Mathematik 6/Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Das Parallelogramm===


===4.2) Parallelogramm===
Wiederholung: besondere Vierecke


====1) Höhen im Parallelogramm====
In Anton kannst du im Pin "Figuren" mit den ersten beiden Übungen die Eigenschaften der besonderen Vierecke wiederholen. Achtung: die anderen Übungen NICHT bearbeiten!!!
 
Den Hefteintrag haben wir in der Videokonferenz begonnen. Führe ihn selbständig fort.
 
====Höhen im Parallelogramm====


Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.
Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.


{{Box|Höhen im Parallelogramm|Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.|Arbeitsmethode}}
{{Box|Hefteintrag im Merkheft|
'''Höhen im Parallelogramm'''
 
Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite zeichnest und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.|Arbeitsmethode}}


Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
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{{Box|Höhen im Parallelogramm zeichnen|Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub>. Die Bildfolgen helfen dir dabei.|Üben}}
{{Box|Höhen im Parallelogramm zeichnen|Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub>.  
 
Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie
 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.png|rahmenlos]]Nullpunkt</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.png|rahmenlos]]Mittellinie</div>
</div>
 
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:
 
<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm_Höhen_einzeichnen_2.png|rahmenlos]]Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.png|rahmenlos]]Beschrifte die Zeichnung.</div>
</div>
 
Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:
 
<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div>
</div>
 
 
 
Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:
 
Beispiel 2
 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png|rahmenlos]]</div>
</div>
 
Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png|rahmenlos]]</div>
</div>
 
Beispiel 3
 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png|rahmenlos]]</div>
</div>
 
Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div>
</div>
{{Box|Übung 1: Höhen zeichnen|Setze  im nachfolgenden Applet den Haken bei '''Parallelogramm''' . Schiebe dann das Geodreieck so, wie du es zum Einzeichnen der Höhen legen musst.Prüfe die Lage des Geodreiecks, indem du den Haken in den Feldern h<sub>a</sub> bzw. h<sub>b</sub> setzt.|Üben}}
<ggb_applet id="ESTtW7pU" width="1399" height="888" border="888888" />
 
 


Und nun im Heft...
Falls du Schwierigkeiten damit hast, helfen dir die Bildfolgen im [https://projekte.zum.de/wiki/Buss-Haskert/Vierecke_und_Dreiecke/Umfang_und_Fl%C3%A4cheninhalt/Parallelogramm#1)_Höhen_im_Parallelogramm Original des Lernpfads.]|Üben}}
{{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}}


====Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====


====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
{{Box|Idee|
 
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen im Übungsheft.
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
|Unterrichtsidee}}
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.<br>
<ggb_applet id="V6CzmdBf" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="V6CzmdBf" width="900" height="550" border="888888" />
<br>
<br>
<br>
<br>
{{#ev:youtube|wejTKC5_p8Y|800|center}}<br><br>
{{#ev:youtube|wejTKC5_p8Y|800|center}}<br><br>
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br>
{{Box|1=Hefteintrag im Merkheft
 
|2=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms<br>
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br>
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br>
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br>
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br>
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{{#ev:youtube|PXiqKPhvzfQ|800|center}}<br>
{{#ev:youtube|PXiqKPhvzfQ|800|center}}<br>


{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgenden Learningapps und das Applet.<br> Schreibe zur ersten App die Aufgaben dazu strukturiert ein dein Heft.<br>
{{Box|Übung|Bearbeite die nachfolgenden Learningapps und das Applet.<br> Schreibe zur ersten App die Aufgaben dazu entsprechend der vorgegebenen Struktur ((1) geg. usw.) in dein Übungsheft.<br>
In der zweiten App darfst du "nur" rechnen und auch im Geogebra-Applet gib "nur" das Ergebnis in das entsprechende Feld ein.|Üben}}
In der zweiten App darfst du "nur" rechnen und auch im Geogebra-Applet gib "nur" das Ergebnis in das entsprechende Feld ein.|Üben}}


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<ggb_applet id="nyxtebzk" width="900" height="520" border="888888" />
<ggb_applet id="nyxtebzk" width="900" height="520" border="888888" />
{{Box|Übung 4|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch
* S. 85 Nr. 1
* S. 85 Nr. 2
* S. 85 Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br>
A=a∙h<sub>a</sub><br>&nbsp;&nbsp;=8∙5<br>&nbsp;&nbsp;=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br>
u=2a + 2b<br>&nbsp;&nbsp;=2∙8 + 2∙6<br>&nbsp;&nbsp;=28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br>
{{Box|Übung|Bearbeite folgende Aufgaben im Übungsheft:
a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
*S. 140/5
*S. 141/9a,b jeweils (1) bis (3)
*S. 141/10 a und b (Überlege vor dem Zeichnen des Koordinatensystems, wie groß es werden muss.)
|Üben}}


{{Box|Übung|Bearbeite folgende Aufgabe im Übungsheft:
*S. 142/17
|Üben}}


====3) Formeln umstellen====
==Donnerstag, 28.01.2021==
{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Arbeitsmethode}}


<div class="grid">
{{Box|Lösungen kontrollieren|
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br>
Kontrolliere die Aufgaben von gestern mit den Lösungen im Modul Lernen. Lade ein Foto deiner '''verbesserten Lösungen''' hoch. Dies solltest du zuverlässig noch innerhalb der Mathematikstunde erledigen!
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:h<sub>a</sub><br>
|Üben}}
<math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br>
a = <math>\tfrac{A}{ha}</math><br>
</div>


<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br>
{{Box|Mathegym|
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:a<br>
Bearbeite nun den Arbeitsauftrag "6f 09 Flächeninhalt von Parallelogrammen" in Mathegym.
<math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br>
h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div>
</div>


Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br>
|Üben}}
u = 2a + 2b &nbsp;&nbsp;&#124;-2b<br>
u - 2b = 2a &nbsp;&nbsp;&#124;:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br>
<math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br>
Stelle die Formel entsprechend nach b um.


<br />
{{Box|Sachaufgaben|
 
Bearbeite im Buch auf S. 142 Aufgabe 11 im Übungsheft. Halte dich bei deiner Lösung an das Schema, dass in der LearningApp oben vorgegeben war: (1) geg. usw.
{{Box|Übung 5|Löse die nachfolgende LearningApps. Schreibe die Aufgabe struktuiert in deinem Heft mit.|Üben}}
{{LearningApp|app=pmrr5tk0519|Width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}}
 
<br />
{{Box|Übung 6|Löse Buch
* S. 85 Nr. 7
* S. 96 Nr. 3
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
 
{{Box|1=Übung 7|2=Ein Parallelogramm hat den angegebenen Flächeninhalt. Gib jeweils zwei Möglichkeiten für g und h<sub>g</sub> an und zeichne die Parallelogramme.<br>
a) A = 24 cm²<br>
b) A = 0,45dm²|3=Üben}}<br>
 
{{Box|Übung 8|Nachdenkaufgabe: Löse Buch
* S. 86 Nr. 14
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre. Tipp: Lass dir die Höhe anzeigen (Haken setzen).|Üben}}
 
<ggb_applet id="eemvx2an" width="1904" height="1500" border="888888" />
 
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 9: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 86 Nr. 9
* S. 86 Nr. 10
* S. 86 Nr. 11
* S. 86 Nr. 12
* S. 86 Nr. 13|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)|Tipp 1 zu Nr. 10|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S.86 Nr.10 Tipp.png|rahmenlos|400px]]|Tipp 2 zu Nr. 10|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit <br>
1. a = 6 m; ha= 4,25m <br>
2. a = 4m; ha = 4,25m<br>
35 Dachziegeln pro m²<br>
ges.: Anzahl der Dachziegel|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt. <br>Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Skizziere die Straßen in dein Heft, die Zeichnung müsste dann wie folgt aussehen:<br>
[[Datei:Zeichnung zu S. 86 Nr. 12.png|rahmenlos]]<br>
Es entsteht ein Parallelogramm (eine Raute). Miss dann die Länge der Seite a (es müssten ca. 8,7cm sein). Damit kannst du dann den Flächeninhalt A = a<math>\cdot</math>h<sub>a</sub> = ... berechnen.|2=Tipp zu Nr. 12 (mit Skizze)|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=geg: Treppenaufgang Parallelogramm,<br>
a= 3,30m; ha= 2,00 m <br>
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)<br>
45,30€ pro m²<br>
ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}
 
 
{{Box|Übung 10|Nachdenkaufgabe: Löse Buch
 
* S. 90 Nr. 14
 
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}}
 
<ggb_applet id="e9ba94ej" width="750" height="566" border="888888" />
====5) Raute: Umfang und Flächeninhalt====
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.
 
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?
<ggb_applet id="ZdNmU5ca" width="800" height="620" />
 
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang einer Raute|2=[[Datei:Raute mit Höhe.png|rechts|rahmenlos|200px]]
<br /><br>
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:<br>
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' <br>
<br>
[[Datei:Raute mit Diagonalen.png|rechts|rahmenlos]]Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:<br>
'''A = <math>\frac{\text{e*f}}{\text{2}}</math>'''


Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit<br>
Lade ein Foto deiner Lösung im Modul Lernen hoch (spätestens heute Abend). Achte darauf, dass du das richtige Abgabefeld verwendest!
'''u = 4a''' .|3=Arbeitsmethode}}
|Üben}}

Aktuelle Version vom 28. Januar 2021, 04:28 Uhr

Das Parallelogramm

Wiederholung: besondere Vierecke

In Anton kannst du im Pin "Figuren" mit den ersten beiden Übungen die Eigenschaften der besonderen Vierecke wiederholen. Achtung: die anderen Übungen NICHT bearbeiten!!!

Den Hefteintrag haben wir in der Videokonferenz begonnen. Führe ihn selbständig fort.

Höhen im Parallelogramm

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.


Hefteintrag im Merkheft

Höhen im Parallelogramm

Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite zeichnest und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

GeoGebra


Höhen im Parallelogramm zeichnen

Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen ha und hb.

Falls du Schwierigkeiten damit hast, helfen dir die Bildfolgen im Original des Lernpfads.

Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u

Idee

Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen im Übungsheft.

GeoGebra



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Hefteintrag im Merkheft

Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙ha oder A = b∙hb; allgemein: A = g∙h
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).
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Übung

Bearbeite die nachfolgenden Learningapps und das Applet.
Schreibe zur ersten App die Aufgaben dazu entsprechend der vorgegebenen Struktur ((1) geg. usw.) in dein Übungsheft.

In der zweiten App darfst du "nur" rechnen und auch im Geogebra-Applet gib "nur" das Ergebnis in das entsprechende Feld ein.




GeoGebra


Übung

Bearbeite folgende Aufgaben im Übungsheft:

  • S. 140/5
  • S. 141/9a,b jeweils (1) bis (3)
  • S. 141/10 a und b (Überlege vor dem Zeichnen des Koordinatensystems, wie groß es werden muss.)


Übung

Bearbeite folgende Aufgabe im Übungsheft:

  • S. 142/17

Donnerstag, 28.01.2021

Lösungen kontrollieren

Kontrolliere die Aufgaben von gestern mit den Lösungen im Modul Lernen. Lade ein Foto deiner verbesserten Lösungen hoch. Dies solltest du zuverlässig noch innerhalb der Mathematikstunde erledigen!


Mathegym

Bearbeite nun den Arbeitsauftrag "6f 09 Flächeninhalt von Parallelogrammen" in Mathegym.


Sachaufgaben

Bearbeite im Buch auf S. 142 Aufgabe 11 im Übungsheft. Halte dich bei deiner Lösung an das Schema, dass in der LearningApp oben vorgegeben war: (1) geg. usw.

Lade ein Foto deiner Lösung im Modul Lernen hoch (spätestens heute Abend). Achte darauf, dass du das richtige Abgabefeld verwendest!

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