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| {{Box-spezial | | {{Box-spezial |
| |Titel= Das Flächenproblem | | |Titel= Das Flächenproblem |
| |Inhalt= [[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]] | | |Inhalt= [[Datei:Integral_Grundstück.png]] |
| Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können. | | Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können. |
| |Farbe= #557799 | | |Farbe= #557799 |
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| {{Box-spezial | | {{Box-spezial |
| |Titel= Unter- und Obersumme | | |Titel= Unter- und Obersumme - Video |
| |Inhalt= [[bild:Int_abb1.png|220px|right]] | | |Inhalt= Eine Möglichkeit ist es, die Fläche mit Hilfe von Streifen zu zerlegen und eine Annährung zu berechnen. Man bildet die Unter- und Obersumme. Eine genaue Erklärung gibts im Video.<br> |
| :'''Aufgabe 1''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
| | {{#ev:youtube|pDHujnO9nvQ|250px}} |
| ::#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
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| ::#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| ::#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
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| ::#Lösung:
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| {{Lösung versteckt|1=Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.
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| Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:
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| x | 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
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| -----------------------------------------------------------
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| f(x)| 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625 4
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:
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| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:
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| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375
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| '''Mittelwert: 5,375'''
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| |2=Lösung 1|3=Lösung ausblenden}} | |
| |Farbe= #557799 | | |Farbe= #557799 |
| |Rahmen= 0 | | |Rahmen= 0 |
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| }} | | }} |
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| | {{Box-spezial |
| | |Titel= Unter- und Obersumme - Beispielaufgaben |
| | |Inhalt= [[Datei:Int_abb1.png|left]] |
| | '''Aufgabe 1''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². |
| | :#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft. |
| | :#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme. |
| | :#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an. |
| | {{Lösung versteckt|1=Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit. |
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| [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
| | Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte: |
| | | x : 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 |
| | | --------------------------------------------------------- |
| :'''Aufgabe 1''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
| | f(x): 0 0,0625 0,25 05625 1 1,5625 2,25 3,0625 4 |
| ::#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
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| ::#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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| ::#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
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| ::#Lösung:
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| <popup name="Lösung">
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| Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit. <br>Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:
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| x | 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 | |
| ----------------------------------------------------------- | |
| f(x)| 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625 4 | |
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| Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br> | | Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br> |
| S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br> | | S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 |
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| Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br> | | Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br> |
| s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br> | | s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 |
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| '''Mittelwert: 5,375''' | | '''Mittelwert: 5,375''' |
| </popup> | | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} |
| | <br> |
| | <br> |
| | '''Aufgabe 2''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.1 x². |
| | :#Zerlege das Intervall [2;5] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme für verschiedene Werte mit dem Applet. |
| | :#Fasse zusammen, was mit der Unter- und Obersumme passiert, wenn die Anzahl der Teilintervalle erhöht wird. |
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| | <ggb_applet id="dguq3rpq" width="400" height="310" /> |
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| :'''Aufgabe 2''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x². | | Falls das Applet im Wiki nicht korrekt angezeigt wird, klicke hier: [https://www.geogebra.org/m/dguq3rpq Link zum Applet] |
| ::#Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
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| | {{Lösung versteckt|1= Je höher die Anzahl der Teilintervalle, desto besser ist die Flächenabschätzung. Geht die Anzahl gegen unendlich nähern sich die beiden Werte immer weiter an und haben einen gemeinsamen Grenzwert. |
| | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} |
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