Benutzer:Karina Hetterich/Wiederholung ManipulationFunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion '''f: x -> x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1''', <br />
Gegeben ist die Funktion '''f: x -> x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1''', <br />
sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> < 1.<br />
sowie zwei weitere Funktionen '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = f (a ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, und '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = f (b ∙ x)</span>''', für <span style="color: red">b</span> < 1.<br />
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Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen '''f''', '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''' mit den Koordinatenachsen.<br />
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Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br />
Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?<br />


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{{Navigation verstecken
 
|g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br />
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|<math forcemathmode="png">g<sub>2</sub>(x) = f (<span style="color: #3A5FCD">2</span>∙ x) hat dann den Schnittpunkt S<sub>g</sub>('''0,81'''/0) mit der x- Achse.<br />
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
<math>\Rightarrow</math> Die x- Koordinate von S<sub>g</sub> ist genau <span style="color: #3A5FCD">halb so groß</span>, wie die von S<sub>f</sub>.<br />
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Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.
Alle Graphen schneiden den Punkt (0/<span style="color: #CD1076 ">1</span>), da alle Funktionsterme die <span style="color: #CD1076 ">Konstante + 1</span> enthalten.</math>
|Lösung aufdecken
}}
|Lösung verstecken}}




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Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br />
Das folgende Applet zeigt die Funktion '''f (x) = x<sup>4</sup> - 3x<sup>2</sup> + 1'''.<br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br />
Durch den <span style="color: red">Schieberegler a</span> lässt sich eine weitere Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">g(x) = a ∙ f(x)</span>''', für <span style="color: red">a</span> > 1, <br />
bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = a ∙ f(x)</span>''', für 0 <<span style="color: red"> a</span> < 1 anzeigen.<br />
bzw. eine Funktion '''<span style="color: #008B00 ">h(x) = b ∙ f(x)</span>''', für 0 <<span style="color: red"> b</span> < 1 anzeigen.<br />
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Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br />
Wie verändert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">g</span>''', bzw. '''<span style="color: #008B00 ">h</span>''', wenn <span style="color: red">a</span> größer oder kleiner wird?<br />
Achte dabei besonders auf die drei markierten Punkte.


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<br>
<ggb_applet id="rz5mscc2" width="600" height="610" />
 


Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br />
Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.<br />
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Hier gilt:
Hier gilt:
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erste die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.  
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.  
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst Strecken, dann verschieben.  
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst Strecken, dann verschieben.  
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Hier gilt:
Hier gilt:
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erste die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.  
* Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.  
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst verschieben, dann Strecken.  
* Für die Veränderung in x-Richtung gilt <u>in dieser Form</u>: Erst verschieben, dann Strecken.  
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* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
* Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung


'''Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung. Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen. '''
'''Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen. '''


Übung 1: [[http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik_10/Die_allgemeine_Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion]]
Übung 1: [[http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik_10/Die_allgemeine_Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion]]

Aktuelle Version vom 1. April 2020, 09:30 Uhr

Wiederholung Verschieben/Strecken/Spiegeln von Funktionen

Dies hier ist eine kleine Wiederholung, um zu sehen wie ein Parameter den Funktionsgraph beeinflusst.

Verschieben

In der Funktion j mit dem Termj(x)=(x - a)³ + b sehen wir beide Möglichkeiten der Verschiebung.

Wie wirkt sich die Veränderung von a und b auf den Graphen der Funktion j aus?

Kannst du eine allgemeine Regel aufstellen?

GeoGebra



Allgemein gilt:
Betrachtet man den Term f(x - a) + b, wird der Graph von f um a Einheiten auf der x - Achse und um b Einheiten auf der y - Achse verschoben.
Für a < 0 wird der Graph nach links, für a > 0 nach rechts verschoben.
Der Parameter b < 0 sorgt für eine Verschiebung des Graphen nach unten, b > 0 nach oben.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in x-Richtung

Gegeben ist die Funktion f: x -> x4 - 3x2 + 1,
sowie zwei weitere Funktionen g(x) = f (a ∙ x), für a > 1, und h(x) = f (b ∙ x), für b < 1.

Vergleiche die Schnittpunkte der drei Funktionen f, g und h mit den Koordinatenachsen.
Was fällt dir auf, wenn du ihre Lage betrachtest?
Setzte den Schieberegler a auf ganzzahlige Werte, um eine allgemeine Regel zu formulieren.

Warum haben alle drei Graphen den gleichen Schnittpunkt mit der y- Achse?

GeoGebra


{{{1}}}


MERKE:

Die x- Werte einer Funktion g(x) = f (a ∙ x), für a > 0, sind immer -mal so weit von der y- Achse entfernt, wie die x- Werte von f.
Der Graph von g wird von der y- Achse aus in x- Richtung mit dem Streckungsfaktor gestreckt.

Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Strecken in y-Richtung

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x4 - 3x2 + 1.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine weitere Funktion g(x) = a ∙ f(x), für a > 1,
bzw. eine Funktion h(x) = b ∙ f(x), für 0 < b < 1 anzeigen.

Wie verändert sich g, bzw. h, wenn a größer oder kleiner wird?


GeoGebra


Die Veränderung lässt sich am besten an allen x- Werten beobachten, in denen f (x) = 1 ist.
An diesen Stellen entspricht der Faktor a genau dem Funktionswert von g, bzw. h.

MERKE:

Für eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) mit a > 1 sind die Funktionswerte von g immer a-mal so weit von der x- Achse entfernt, wie die Funktionswerte von f.
Man spricht von einer Streckung des Graphen von g in y- Richtung mit dem Streckungsfaktor a.


Eine ausführliche Erklärung findest du in diesem [Lernpfad]

Spiegeln

Das folgende Applet zeigt die Funktion f (x) = x3 - x2 - x + 2.
Durch den Schieberegler a lässt sich eine Funktion g(x) = a ∙ f(x) und durch den Schieberegler c eine Funktion h(x) = f(c∙x), anzeigen.

Stelle jeweils den Schieberegler auf -1 ein und beschreibe die Veränderung.

GeoGebra
MERKE:

Ist folgender Zusammenhang gegeben: g(x) = a∙f(x) mit a = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von g zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der x-Achse gespiegelt.

Ist folgender Zusammenhang gegeben: h(x) = f(c∙x) mit c = -1. So gilt:
Um den Funktionsgraph von h zu erhalten wird der Funktionsgraph von f an der y-Achse gespiegelt.

Mehr Informationen und Übungen findet ihr in diesem [Lernpfad]

Veränderungen aller Parameter

Natürlich können alle Veränderungen auch gleichzeitig vorgenommen werden. Werden mehrere Veränderungen gleichzeitig vorgenommen, so spielt die Reihenfolge eine Rolle.

Allgemein lautet der Term dann z.B.: g(x) = a∙f(b∙(x -c))+d

Hier gilt:

  • Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
  • Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
  • Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst Strecken, dann verschieben.

Es folgt also:

  • Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
  • Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
  • Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung
  • Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung

ACHTUNG: Lautet der Term g(x) = a∙f(b∙x -c)+d ist es wieder anders

Hier gilt:

  • Es ist egal, ob zuerst die Veränderungen in x-Richtung (b und c) oder erst die in y-Richtung (a und d) berücksichtigt werden
  • Für die Veränderung in y-Richtung gilt: Erst Strecken, dann verschieben.
  • Für die Veränderung in x-Richtung gilt in dieser Form: Erst verschieben, dann Strecken.

Es folgt also:

  • Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung
  • Verschiebung um d Einheiten in y-Richtung
  • Verschiebung um -c Einheiten in x-Richtung
  • Streckung mit dem Faktor 1/c in x-Richtung

Da dies sehr verwirrend ist, gibt es folgende Empfehlung: Merke dir nur eine Variante. Jeder Term lässt sich in diese Variante umformen.

Übung 1: [Die allgemeine Sinusfunktion]