Beweis Potenzgesetze

Für $a,b>0$ und $r,s\in \mathbb {Q}$ gilt

1. $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$ bzw. ${\tfrac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}$
2. $a^{r}b^{r}=(ab)^{r}$ bzw. ${\tfrac {a^{r}}{b^{r}}}=\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{r}$
3. $(a^{r})^{s}=a^{rs}$

Beweis

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien $r={\tfrac {p}{q}}$ und $s={\tfrac {p}{q'}}$, dann gelten:

Regel 1b:

${\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}$

Regel 2b:

${\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{b^{r}}}&={\frac {a^{\tfrac {p}{q}}}{b^{\tfrac {p}{q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\frac {\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{\frac {a^{p}}{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{({\frac {a}{b}})^{p}}}\\&=({\frac {a}{b}})^{\tfrac {p}{q}}\\&=({\frac {a}{b}})^{r}\end{aligned}}$