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| {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
| | Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt |
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| == Definition der Potenz mit rationalem Exponenten ==
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| Im letzten Kapitel haben wir einige Rechenregeln für die Wurzel hergeleitet. Dabei haben wir u.a. die Regel <math>\sqrt[k]{a^l} = (\sqrt[k]{a})^l</math> gezeigt. In der Potenzschreibweise der Wurzel lautet diese
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| {{Formel|<math>(a^l)^{\tfrac 1k} = (a^{\tfrac 1k})^l</math>}}
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| Wurzelziehen und Potenzieren lassen sich also vertauschen. Daher definieren wir allgemein:
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| {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
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| |titel=Potenz mit rationalen Expoenenten
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| |definition=
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| Für reelles <math>a>0</math> und rationales <math>r=\tfrac pq</math> definieren wir | |
| {{Formel|<math>a^r = a^{\tfrac pq} = \sqrt[q]{a^p}</math> und <math>a^{-r} = a^{-\tfrac pq} = \tfrac{1}{\sqrt[q]{a^p}}</math>}}
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| Außerdem setzen wir <math>0^r = 0</math>.
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| }}
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| == Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten ==
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| {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
| | #<math>a^ra^s=a^{r+s}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math> |
| |titel=Rechenregeln
| | #<math>a^rb^r=(ab)^{r}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r</math> |
| |satz=
| | #<math>(a^r)^s=a^{rs}</math> |
| Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt
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| # <math>a^ra^s=a^{r+s}</math> | |
| # <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math>
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| # <math>(a^r)^s=a^{rs}</math>
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| # <math>a^rb^r=(ab)^{r}</math> | |
| # <math>\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r</math>
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| |beweis=
| | ======'''<big>Beweis</big>'''====== |
| Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten: | | Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten: |
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| '''Regel 1:''' | | <font color="#89AC76">'''Regel 1b:'''</font> |
| {{Formel|<math>\begin{align}
| | <p align="left"><math>\begin{align} |
| a^r a^s & = a^{\tfrac pq} a^{\tfrac{p'}{q'}} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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| & = \sqrt[q]{a^p} \sqrt[q']{a^{p'}} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Wurzeln angleichen} \right.\\
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| & = \sqrt[qq']{a^{pq'}} \sqrt[qq']{a^{p'q}} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
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| & = \sqrt[qq']{a^{pq'}a^{p'q}}\\
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| & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
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| & = \sqrt[qq']{a^{pq'+p'q}}\\
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| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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| & = a^{\tfrac{pq'+p'q}{qq'}}\\
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| & = a^{\tfrac{pq'}{qq'}+\tfrac{p'q}{qq'}}\\
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| & = a^{\tfrac{p}{q}+\tfrac{p'}{q'}} \\
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| & = a^{r+s}
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| \end{align}</math>}}
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| '''Regel 2:'''
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| {{Formel|<math>\begin{align}
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| \frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\ | | \frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\ |
| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | | & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ |
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| & = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\ | | & = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\ |
| & = a^{r-s} | | & = a^{r-s} |
| \end{align}</math>}} | | \end{align}</math> |
| | | </p> |
| '''Regel 3:'''
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| {{Formel|<math>\begin{align}
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| (a^r)^s & = (a^{\tfrac pq})^{\tfrac{p'}{q'}} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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| & = \sqrt[q']{(\sqrt[q]{a^p})^{p'}}\\
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| & \left\downarrow \ \text{Wurzeln und Potenz vertauschen} \right.\\
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| & = \left(\sqrt[q']{\sqrt[q]{a^p}}\right)^{p'} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
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| & = \left(\sqrt[qq']{a^{p}}\right)^{p'} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Wurzeln und Potenz vertauschen} \right.\\
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| & = \sqrt[qq']{(a^{p})^{p'}}\\
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| & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
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| & = \sqrt[qq']{a^{pp'}}\\
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| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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| & = a^{\tfrac{pp'}{qq'}}\\
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| & = a^{\tfrac{p}{q}\cdot \tfrac{p'}{q'}}\\
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| & = a^{rs}
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| \end{align}</math>}}
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| '''Regel 4:'''
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| {{Formel|<math>\begin{align}
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| a^rb^r & = a^{\tfrac pq}b^{\tfrac{p}{q}} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
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| & = \sqrt[q]{a^p}\sqrt[q]{b^{p}}\\
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| & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
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| & = \sqrt[q]{a^pb^p} \\
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| & \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
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| & = \sqrt[q]{(ab)^{p}} \\
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| & = (ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
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| & = (ab)^r
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| \end{align}</math>}}
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| '''Regel 5:''' | | <font color="#89AC76">'''Regel 2b:'''</font> |
| {{Formel|<math>\begin{align}
| | <p align="left"> <math>\begin{align} |
| \frac{a^r}{b^r} & = \frac{a^{\tfrac pq}}{b^{\tfrac{p}{q}}} \\ | | \frac{a^r}{b^r} & = \frac{a^{\tfrac pq}}{b^{\tfrac{p}{q}}} \\ |
| & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ | | & \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\ |
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| & = (\frac ab)^{\tfrac{p}{q}}\\ | | & = (\frac ab)^{\tfrac{p}{q}}\\ |
| & = (\frac ab)^r | | & = (\frac ab)^r |
| \end{align}</math>}} | | \end{align}</math></p> |
| }}
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| == Ausblick: Potenzen mit reellen Exponenten ==
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| Später werden wir noch Potenzen mit reellen Exponenten definieren. Dafür benötigen wir allerdings die Exponentialfunktion <math>\exp</math> und die (natürliche) Logarithmusfunktion <math>\ln</math>. Mit diesen ist dann für positive <math>a</math> und reelle <math>r</math>:
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| {{Formel|<math>a^r = \exp(r \ln(a))</math>}}
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| Wir werden sehen, dass auch für diese Verallgemeinerung dieselben Rechenregeln gelten.
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| {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ce0d53dd873cca8a520672401cdfffc26a72c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{b^{r}}}&={\frac {a^{\tfrac {p}{q}}}{b^{\tfrac {p}{q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\frac {\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{\frac {a^{p}}{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{({\frac {a}{b}})^{p}}}\\&=({\frac {a}{b}})^{\tfrac {p}{q}}\\&=({\frac {a}{b}})^{r}\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6685cf662e9f3732a929d8ef6ea57c3616d743)
