Mathematik 12/Integralrechnung

Das Flächenproblem

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.

Unter- und Obersumme - Video

Eine Möglichkeit ist es, die Fläche mit Hilfe von Streifen zu zerlegen und eine Annährung zu berechnen. Man bildet die Unter- und Obersumme. Eine genaue Erklärung gibts im Video.

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Unter- und Obersumme - Beispielaufgabe

Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².

1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.

Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.

Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:

x   : 0   0,5      1    1,5   2   2,5      3     3,5   4
---------------------------------------------------------
f(x): 0  0,0625  0,25  05625  1  1,5625  2,25  3,0625  4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) $\cdot$ 0,5 + f (1) $\cdot$ 0,5 + .....f (4) $\cdot$ 0,5 = 0,5 $\cdot$f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) $\cdot$ 0,5 + f (0,5) $\cdot$ 0,5 + .....f (3,5) $\cdot$ 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375

Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².

1. Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.