Mathematik 12/Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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Version vom 18. Februar 2020, 08:27 Uhr

Das Flächenproblem
Integral Grundstück.png
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.


Unter- und Obersumme
Int abb1.png


Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
  1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
  3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
  4. Lösung:

<popup name="Lösung"> Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.
Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:

 x  |  0    0,5     1    1,5    2   2,5     3      3,5    4
-----------------------------------------------------------
f(x)|  0  0,0625  0,25  0,5625  1  1,5625  2,25  3,0625   4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375 </popup>


Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
  1. Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.


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