M6b Multiplikation und Division von Brüchen

<6b 2020 21

Donnerstag, 21.01.2021

Guten Morgen!

Bitte schaut als erstes meine Rückmeldungen zu den Aufgaben von gestern an, wenn ihr es noch nicht erledigt habt.

Wer nicht aufgefordert wurde und fragen hat, kann jetzt auch um 9:45 in die Fragestunde in eurem Klassenraum in BBB kommen. Auch morgen biete ich wieder eine Fragestunde an.

Überschrift:

Notiere dir "3.3 Dividieren von Brüchen" als Überschrift ins Übungsheft und ins Merkheft!

1.Übung

Ordne jede Aufgabe der jeweiligen Lösung zu. Nimm ein Schmierblatt für Nebenrechnungen.

A) $;{\frac {1}{6}}$	$={\frac {2}{3}}:4$	$={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}$
B) $;{\frac {2}{15}}$	$={\frac {2}{5}}:3$	$={\frac {2}{5}}\cdot {\frac {1}{3}}$
C) $;{\frac {3}{4}}$	$={\frac {9}{4}}:3$	$={\frac {9}{4}}\cdot {\frac {1}{3}}$

Überlege,...

... was dir aufgefallen ist.

z.B. ${\frac {2}{3}}:4$ und ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}$ ergeben beide ${\frac {1}{6}}$.
Da gibt es doch sicher einen Zusammenhang.
${\frac {2}{3}}:4={\frac {2}{3\cdot 4}}$
und ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {2}{3\cdot 4}}$
Aber was hat das mit der Division von Brüchen zu tun?

Schreibe dazu die Zahl 4 als Bruch und notiere die Division mit diesem Bruch.

Aber was hat das mit der Division von Brüchen zu tun?

Hast du die versteckten Informationen gelesen? Dann solltest du jetzt folgende Rechnung stehen haben.

${\frac {2}{3}}:4={\frac {2}{3}}:{\frac {4}{1}}$ und das ist das gleiche wie ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}$

Feststellung: Ob man einen Bruch mit $1 \over 4$ multipliziert oder durch $4 \over 1$ dividiert, das Ergebnis ist identisch. Was heißt dies nun konkret für dieser Berechnung der Aufgabe?

Kehrwert

Notiere in dein Merkheft nun folgenden Eintrag, der den Zusammenhang zwischen dem Bruch $1 \over 4$ und $4 \over 1$ benennt.

Kehrwert eines Bruchs Den Kehrwert eines Bruchs erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner - man stellt den Bruch praktisch "auf den Kopf".

Der Kehrwert von ${\frac {2}{3}}$ ist ${\frac {2}{3}}$

Dividieren von Brüchen:

Jetzt geht es aber los. Am Anfang des Videos wird die Multiplikation wiederholt. Ihr könnt auch gleich bei 7:30 starten, ab das beginnt die Division.

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Merke:

Schreibe nun bitte folgenden Merksatz ins Merkheft:

Regel über die Division durch einen Bruch:
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Den Kehrwert eines Bruches erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
Beispiel:

${\frac {7}{5}}:{\frac {2}{3}}={\frac {7}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {21}{10}}$

Üben, Üben, Üben am Mathe-Donnerstag

Wir üben im Buch. Schnapp dir dein Übungsheft. Schreibe alle Zwischenschritte auf.

• S.96/7 a-c (Tipp: Schreibe die ganze Zahl auch als Bruch)
• S.96/8 2. Zeile
• S.96/9
• S.96/13 Textaufgabe
• S.96/9a-d (Vorsicht hier ist alles gemischt.
  
• Hier sind die Lösungen für die Aufgaben S.96/7,8,9,13,19 in kurz. Die ausfürhliche Lösung findet ihr im Modul Lernen.

• 7a) 55; b) 64; c) 20: Wenn du hier mindestens 2 Fehler hattest, dann bearbeite auch noch d-f. Die Lösung ist im Modul Lernen.
• 8 b) ${\frac {25}{27}}$; j) $26{\frac {1}{4}}$; n) $1{\frac {1}{6}}$ ; r) ${\frac {22}{65}}$; v) 2
• 9b) ${\frac {25}{27}}$ ; b) ${\frac {2}{15}}$ ; c) ${\frac {1}{28}}$ ; d) $4{\frac {2}{3}}$ ; e) 64 ; f) 0
• 13) 10
• 19 a) ${\frac {3}{16}}$ ; b) ${\frac {1}{2}}$ ; c) 3 ; d) 1

Dividieren mit Brüchen in gemischter Schreibweise

Eigentlich ist es nichts neues. Bei der Addition oder Subtraktion und auch bei der Multiplikation mussten die Brüche in gemischter Schreibweise vor dem Rechnen in unechte Brüche umgewandelt werden.

Beispiel: $3{\frac {1}{2}}:4{\frac {2}{3}}$ in unechten Bruch umwandeln
$={\frac {7}{2}}:{\frac {14}{3}}$ multiplizieren mit dem Kehrwert
$={\frac {7}{2}}\cdot {\frac {3}{14}}$ kürzen!
$={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}$
$={\frac {3}{4}}$

Und jetzt du! Buch S.97/21 a-c

• a) $1{\frac {1}{14}}$
• b) $1{\frac {1}{9}}$
• c) $1{\frac {13}{15}}$

Wenn du mehr als ein falsches Ergebnis hast oder du noch unsicher bist, dann bearbeite noch die nächsten 3 Aufgaben.

Die ausführliche Lösung findest du ebenfalls im Modul Lernen.

Fertig

Jetzt hast du viel geschafft!
Überlege, was du heute gelernt hast. Erkläre deinem Kuschel- oder Haustier kurz. Wie man zwei Brüche dividiert.

Und jetzt runter vom Schreibtischstuhl und viel Spaß beim Sport! An die Würfel fertig los!

Mittwoch, 20.1.2021

Kürzen beim Multiplizieren von Brüchen

Wie beim Teilen und Vervielfachen kann man auch beim Multiplizieren vor dem Ausmultiplizieren kürzen, damit dir Zahlen nicht so groß werden.

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Zur Vertiefung:

Notiere das heutige Datum und löse dann folgende Aufgaben aus dem Buch S. 91/ 12
Vergiss nun bitte vor dem Ausmultiplizieren das Kürzen nicht!

Schicke deine Lösung im Modul Lernen.

Überlege

Wie kannst du folgenden Term berechnen? $1{2 \over 3}\cdot 2{4 \over 5}=$
Öffne die Lösung und schreibe den Merksatz in dein Merkheft.

Multiplizieren von Brüchen in gemischter Schreibweise
Zum Multiplizieren von Brüchen in gemischter Schreibweise werden diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt.

$1{2 \over 3}\cdot 2{4 \over 5}={5 \over 3}\cdot {14 \over 5}={5\cdot 14 \over 3\cdot 5}={14 \over 3}=4{2 \over 3}$

1. Übung

Ins Übungsheft:

1. S. 92/ 20 c), d), g), h) (gemischte Schreibweise)
2. S. 92/ 23 e-h (mehrere Brüche multiplizieren, auch hier ans Kürzen denken)

Um zu schauen, ob du es verstanden hast, erhälst du hier die Lösung zu den ersten Aufgaben. Heute nachmittag erhälst du die restlichen Lösungen.
20 c) ${\frac {3}{4}}\cdot 1{\frac {7}{9}}={\frac {3}{4}}\cdot 1{\frac {16}{9}}={\frac {3\cdot 16}{4\cdot 9}}={\frac {4}{3}}=1{\frac {1}{3}}$

23 e)${\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {8}{15}}={\frac {3\cdot 5\cdot 8}{4\cdot 6\cdot 15}}={\frac {2}{2\cdot 3}}={\frac {1}{3}}$

Potenzen

Vor den Ferien haben wir zur Übung Potenzen wiederholt.
Beispiel: $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=16\cdot 4=64$
NEU:
Bruchzahlen können auch als Basis von Potenzen auftreten.

Potenzen bei Bruchzahlen
$({\frac {2}{3}})^{2}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 2}{3\cdot 3}}={\frac {4}{9}}$

$({\frac {2}{3}})^{4}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {16}{81}}$

Schreibe die Erklärung in dein Merkheft. Schicke mir ein Foto der Einträge von heute und letztem Freitag.

2. Übung

Nun bist du dran:
Bearbeite die Aufgabe

1. Buch S. 92/ 25 a,b
2. Buch S.92/ 26 a) (3)-(5), b) (1), (3)
   

S.92/ 25 a) $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4}}={\frac {27}{64}}$
b) $\left({\frac {2}{5}}\right)^{4}={\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}={\frac {16}{625}}$

S.92/ 26 a) (3) $\left({\frac {11}{12}}\right)^{2}={\frac {11}{12}}\cdot {\frac {11}{12}}={\frac {11\cdot 11}{12\cdot 12}}={\frac {121}{144}}$
(4) wie 25 a) $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4}}={\frac {27}{64}}$
(5) $\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}={\frac {16}{81}}$
b)(1) ${\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$

(3) ${\frac {1}{625}}=\left({\frac {1}{25}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{5}}\right)^{4}$

Freiwillige weitere Übungen

Hier gibt es Multiplikationen mit drei Brüchen.
S.92/20, 23 restlichen Aufgaben

Die Lösungen sowie die Lösungen der anderen Aufgaben findest du ab 16:00 im Modul Lernen.