6e Lernen zu Hause: Dezimalbrüchen

08.02.2021

Falls du es am Donnerstag nicht mehr geschafft hast, bearbeite bitte zuerst den Ausblick!
Falls du die Aufgabe bereits bearbeitet hast, starte direkt mit der nachfolgenden Übung.

Ausblick: Du hast es dir sicher schon gedacht, auch beim Rechnen mit Dezimalzahlen gelten nach wie vor die Rechenregeln "Klammern zuerst", "Potenz vor Punkt vor Strich", "von links nach rechts" und natürlich können Dezimalbrüche auch in Textaufgaben vorkommen...
Berechne die jeweilige Aufgabe im Kopf! Mit diesen Aufgaben kannst du testen, ob du Rechengesetze richtig anwendest und Textaufgaben richtig verstehst... Wenn du magst, kannst du dir hierbei freiwillig die jeweilige Aufgabe inklusive ihrer Lösung kurz ins Schulheft notieren.
Anmerkung: Pickerl = Sticker

Zur Übung:

Wie bereits am vergangenen Donnerstag erwähnt: Bearbeite B. S. 114/ 5 - wo steckt der Fehler...
Verbessere bitte deinen Lösungsvorschlag!
Falls dein Ergebnis ein anderes sein sollte, dann vergleiche bitte deine Lösung Schritt für Schritt mit der von mir!
Falls dir mein Lösungsvorschlag in der Darstellung zu klein sein sollte, kannst du einfach auf die beiden Rechtecke unten rechts im Bild klicken und es vergrößert sich.

Zur Übung:

Und weiter geht es mit dem Üben...
Berechne schriftlich B.S. 115/ 10 b), d), f), h), j)! Mache bitte ein Foto von deiner Lösung und lade dieses bitte noch heute im Schulmanager - Modul Lernen hoch. Danke!

Zur Erinnerung:

Dividend, Divisor, Quotient - was ist das? Aber das weißt du sicher noch!
Bearbeite bitte B. S. 115/ 15!
Verbessere bitte deinen Lösungsvorschlag mit dem von mir! Verwende hierfür einen Buntstift!

Du weißt es sicher noch... Dividend : Divisor = Wert des Quotienten

a) 4,368 : 2,8 = "43,68 : 28" = 1,56

b) x : 3,25 = 1,09;
Berechne mit der Umkehraufgabe: $1,09 \cdot 3,25 = 3,5425$ und somit ist x = 3,5425.
Das tolle bei dieser Aufgabe ist, dass man mit der Umkehraufgabe gleich auch noch das Multiplizieren von Dezimalbrüchen wiederholt - du erinnerst dich: Ganz "normal" multiplizieren, nur eben Nachkommastellen beachten!

c) 33,9 : x = 13,56;
Berechne den Platzhalter x folgendermaßen..... x = 33,9 : 13,56 = "3390 : 1356" = 2,5

Neu:

Bevor es weiter geht, notiere dir bitte Endliche und periodische Dezimalbrüche als neue Überschrift in dein Schulheft! Was das sein soll, wirst du dir gleich erarbeiten... Starte hierfür direkt mit dem folgenden Arbeitsauftrag!

Wiederholung und Vertiefung:

Zur Erinnerung: Ein Bruchstrich ersetzt das "Geteilt-Zeichen" und umgekehrt... Anstelle von $3 \over 8$ kann man auch 3 : 8 schreiben oder eben umgekehrt.
Mit diesem Wissen wandelst du nun bitte folgende Brüche in Dezimalbrüche um!
Schau dir bitte deine jeweiligen Ergebnisse genau an! Was fällt dir auf?

Hier nun noch die Brüche, die du rechnerisch in Dezimalbrüche umwandeln sollst:

a) $3 \over 8$
b) $2 \over 3$
c) $3 \over 11$
d) $5 \over 6$

Das tolle bei dieser Aufgabe, die Lösung dazu findest du in aller Ausführlichkeit in deinem Buch auf Seite 119/ Aufgabe 1!
Nimm dir einen Rotstift in die Hand und hake deine richtige Lösung ab oder korrigiere deine falsche Lösung.
Wichtig ist es bei dieser Aufgabe, dass du ganz klar mit der Lösung aus dem Buch vergleichst, was dir aufgefallen ist bzw. auffallen hätte müssen!
Damit meine ich, dass es Dezimalbrüche gibt, die an irgendeiner Nachkommastelle enden.
Es gibt aber auch Dezimalbrüche bei denen man unendlich lange weiter rechnen könnte.

Und dann gibt es noch Dezimalbrüche, die kann man auch unendlich lange weiter rechnen, nur diese sind besonders, hier wiederholen sich die Ziffern der Nachkommastellen...
Ich hoffe sehr, dass du diese Erkenntnis bei deiner Berechnung der Aufgaben auch gewinnen konntest! Lies dies bitte genau in der Lösung auf S. 119/ Aufgabe 1 nach!

Merke:

Notiere dir bitte folgenden Merksatz in dein Schulheft!

Merke: Endliche und periodische Dezimalbrüche:

Fall 1:
Die Division endet, der Rest der Division ist 0.
Der Dezimalbruch hat somit eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen; einen solchen Dezimalbruch nennt man endlichen Dezimalbruch.
Vergleiche beispielsweise a): ${3 \over 8} = 0,375$, dies ist ein endlicher Dezimalbruch.

Fall 2:
Die Division endet nicht, der Rest der Division ist nie 0.
Daher nennt man diesen Dezimalbruch unendlichen Dezimalbruch.

Besonderheit: Wiederholt sich nach einigen Schritten ein Rest (ungleich 0), dann hat der Dezimalbruch eine Ziffer bzw. eine Zifferngruppe, die sich stets wiederholt. Einen solchen Dezimalbruch nennt man periodischen Dezimalbruch.

Hinweis: Beispiele von Dezimalbrüchen, die im Merksatz dem Fall 2 "Besonderheit" zugeordnet werden können, findest du in folgender Anmerkung erklärt! Darüber hinaus lernst du hier auch die Notation dieser besonderen Dezimalbrüche kennen.

Anmerkung:

Lies folgende Anmerkung genau durch und ergänze jeweils die entsprechende Notation an der Stelle, an der du die Aufgabe zum Einstieg in das Themengebiet berechnet hast!

Beachte die besondere Notation periodischer Dezimalbrüche:

zu b) ${2 \over 3 }= {2 \div 3} = 0,666666666..... = 0,\overline{6}$ Man liest: "null Komma Periode sechs"

zu c) ${3 \over 11} = {3 \div 11} = 0,272727272727..... = 0,\overline{27}$ Man liest: "null Komma Periode zwei sieben"

zu d) ${5 \over 6} = {5 \div 6} = 0,83333333333 = 0,8\overline{3}$ Man liest: "null Komma acht Periode drei"

Wichtig:

Notiere folgende Brüche und ihre zugehörigen periodischen Dezimalbrüche in dein Heft und lerne diese!
Bitte keine Angst, das ist nicht so viel, wie es auf den ersten Blick wirkt, du erkennst sicherlich ein Schema beim Aufschreiben und denke bitte immer an die Möglichkeit des Kürzens, das erklärt doch auch so einiges...

Merke dir:

• ${1 \over 9} = 0,\bar{1}$; "null Komma Periode eins"
  
• ${2 \over 9} = 0,\bar{2}$; "null Komma Periode zwei"
  
• ${3 \over 9} = {1 \over 3} = 0,\overline{3}$; "null Komma Periode drei"
  
• ${4 \over 9} = 0,\bar{4}$; "null Komma Periode vier"
  
• ${5 \over 9} = 0,\bar{5}$; "null Komma Periode fünf"
  
• ${6 \over 9} = {2 \over 3} = 0,\overline{6}$; "null Komma Periode sechs"
  
• ${7 \over 9} = 0,\bar{7}$; "null Komma Periode sieben"
  
• ${8 \over 9 }= 0,\bar{8}$; "null Komma Periode acht"
  
• ${9 \over 9} = 0,\bar{9} = 1$
  

Wiederholung:

Zum Abschluss der heutigen Doppelstunde und zur Vorbereitung auf die kommende Mathestunde:
Fasse mündlich noch einmal für dich zusammen, was ein endlicher Dezimalbruch ist und wie er entsteht!
Definiere, was ein periodischer Dezimalbruch ist, wie ist hierbei die Notation!
Lerne den Zusammenhang zwischen Brüchen mit Nenner 9 und ihren periodischen Dezimalbrüchen!
Erinnerst du dich noch an die andere Möglichkeit $3 \over 8$ in einen Dezimalbruch umzuwandeln?

2. Möglichkeit $3 \over 8$ in einen Bruch umzuwandeln:

Man schaut sich den Bruch an und überlegt, ob man diesen auf eine Zehnerpotenz, d.h. 10, 100, 1000, 10000, ..., im Nenner erweitern kann.... Hier also $\frac {3} {8} = \frac {3 \cdot 125} {8 \cdot 125} = \frac{ 375}{1000} = 0,375$;

Ich hoffe sehr, dass du dich noch an diese Möglichkeit einen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln erinnern kannst.

HAUSAUFGABE!! Für alle, die die Aufgabe letzten Donnerstag noch nicht freiwillig gemacht haben... - Zur Vertiefung:

Potenzen und Dezimalbrüche...
Berechne jeweils und ordne das richtige Ergebnis zu. Achte hierbei auf die richtige Anzahl der Nachkommastellen!

10.02.2021

Wiederholung:

Unterschiede "endlicher" und "periodischer" Dezimalbruch! Wiederhole die besondere Notationsmöglichkeit bei periodischen Dezimalbrüchen! Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen mit Nenner 9 und ihren periodischen Dezimalbrüchen!

Videokonferenz:

Falls du wider Erwarten doch noch Fragen haben solltest, komm in die Videokonferenz, Link im Schulmanager - Modul Lernen, und stelle diese, falls alles klar ist, starte mit den Aufgaben.... Heute wird geübt, geübt und nochmal geübt...

Übung:

Wandle im Kopf um und ordne Brüche ihren Dezimalbrüchen oder eben Dezimalbrüche ihren Brüchen zu!

Übung:

Stelle einen Timer auf 15 Minuten und teste, wie viele Aufgaben du von B. S. 121/ 4 a) bis k) in dieser Zeit zu rechnen schaffst! WICHTIG: Lass bitte Teilaufgabe h) weg! Vielleicht brauchst du auch weniger als 15 Minuten...
Tipp: Du musst nicht immer alle Aufgaben durch Division lösen, vielleicht hilft Kürzen oder auch Erweitern auf 10, 100, 1000,... weiter.
Vielleicht siehst du bei einzelnen Aufgaben sofort, wie der Dezimalbruch sein muss, dann brauchst du erst gar nicht das Rechnen beginnen...
Verbessere bitte deinen Lösungsvorschlag!
Falls dein Ergebnis ein anderes sein sollte, vergleiche bitte deine Lösung Schritt für Schritt mit der von mir! Falls dir mein Lösungsvorschlag in der Darstellung zu klein sein sollte, kannst du einfach auf die beiden Rechtecke unten rechts im Bild klicken und es vergrößert sich.

Übung:

Bearbeite B. S. 122/ 13 a) c) d) e) und vergleiche im Anschluss deine Lösung mit meiner!

Die Zahlen von der kleinsten zur größten Zahl geordnet:

a) $0,3 < 0,33 < 0,333 < 0,\overline {3} = 0,3333333333... < 0,334$
c) $0,6 < 0,7\overline {2} < \frac{3}{4} = 0,75 < 0,\overline{7} < 0,8 < \frac{7}{8} = 0,875$
d) $\frac{1}{7} = 0,\overline{142857} < 0,57 < \frac{7}{10} = 0,7 < 0,\overline{71} < \frac {3}{4} = 0,75 < \frac{16}{20} = 0,8$

e) $0,16 < 0,166 < 0,1\overline{6} < 0,167 < 0,17$

Zur Wiederholung:

Erinnerung: Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Bearbeite nun B. S. 122/ 10 b) und vergleiche anschließend deine Lösung mit meiner!

Jeweils auf Tausendstel gerundet:

1. $0,\overline {5} = 0,5555555... \approx 0,556;$
   
2. $0,1\overline {6} = 0,1666666... \approx 0,167;$
   
3. $0,41\overline {6} = 0,41666666... \approx 0,417;$
   
4. $0,2\overline {7} = 0,2777777... \approx 0,278;$
   
5. $0,04\overline {5} = 0,0455555... \approx 0,046;$
   
6. $0,0\overline {45} = 0,04545454545... \approx 0,045;$
   

Test:

Zum Überprüfen und weiteren Vertiefen deines gelernten Wissens kannst du hier freiwillig noch einmal Paare von Brüchen und Dezimalbrüchen passend zuordnen. Mit der folgenden LearningApp hast du die Möglichkeit zu testen, ob du besondere Brüche und ihre zugehörigen Dezimalzahlen bereits gut genug gelernt hast. Viel Freude dabei!
Der Test wäre ganz klar eine Empfehlung von mir an dich, um damit deinen Lernfortschiritt zu testen, vielleicht kannst du ihn ja heute noch zeitlich unterbringen... Ich würde mich freuen!

11.02.2021

Test:

Zur Wiederholung und Vertiefung: Endlich oder unendlicher Bruch? Sortiere jeweils zu! Kürzen bzw. Erweitern auf 10, 100, 1000, 10000, ... kann dir dabei helfen endliche Brüche "herauszuangeln..."

Verknüpfung von Brüchen und Dezimalbrüchen:

Bevor du los legst notiere dir Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen als Überschrift in dein Schulheft!
Sicher hast du es dir schon gedacht, es gibt Aufgaben, in den tauchen sowohl Brüche als auch Dezimalbrüche auf... Hier stellt sich nun die Frage, was ist zu tun? Hast du schon eine Idee? Falls nicht überlege mit Hilfe der folgenden Aufgabe, wie du dieses Problem sinnigerweise lösen würdest!
a) $0,75- \frac {1}{4} =$
b) $\frac{1}{8} \cdot 0,75 =$

Falls du keine Idee bei der Lösung der Aufgaben hast, hilft dir folgender Tipp weiter!

Tipp:

Entweder rechnest du alles in Brüche oder eben alles in Dezimalbrüche um, die Entscheidung diesbezüglich ist abhängig von der jeweiligen Aufgabe. Manchmal bietet es sich an alles in Brüche umzurechnen und manchmal alles in Dezimalbrüche...

Lösung der Aufgaben:

a)
$0,75- \frac {1}{4} = \frac {3}{4} - \frac{1}{4}= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ oder aber auch:
$0,75- \frac {1}{4} = 0,75 - 0,25 = 0,5$
Hier kannst du vollkommen frei entscheiden, ob du lieber mit Brüchen oder lieber mit Dezimalbrüchen rechnen möchtest, es gibt hierbei keinen großen Schwierigkeitsunterschied. Beide Varianten führen gleich schnell ans Ziel.

b)
$\frac{1}{8} \cdot 0,75 = \frac{1}{8} \cdot \frac {3}{4} = \frac{3}{32}$ oder aber auch:
$\frac{1}{8} \cdot 0,75 = 0,125 \cdot 0,75 = 0,09375$
Hier würde ich stets das Umrechnen in Brüche wählen, das geht bei dieser Aufgabe bedeutend schneller.

Beim Umrechnen in Dezimalbrüche braucht man zur Berechnung des Endergebnisses erst noch einen Nebenrechnung, diese spart man sich bei der Berechnung mit Brüchen, wodurch sicher Fehler vermieden werden können!

Anmerkung:

Notiere dir bitte folgende Anmerkung in dein Schulheft!

Anmerkung:

Um Aufgaben mit Brüchen und Dezimalbrüchen berechnen zu können, ist es wichtig alle Zahlen der Aufgabe entweder in Brüche oder in Dezimalbrüche umzuwandeln!
Wichtig: Brüche, die nicht als endliche, sondern nur als unendliche - im Besonderen als periodische - Dezimalbrüche geschrieben werden können, sollte man für die Berechnung der jeweiligen Aufgabe nicht in Dezimalbrüche umwandeln. Hier sollte man stets mit Brüchen rechnen!
Beispielsweise sollte man in folgender Aufgabe $\frac{1}{3}$ nicht in den Dezimalbruch $0,\overline{3}$ umwandeln, sondern wie folgt berechnen: $0,8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac {4}{15}$

Übung:

Bearbeite bitte im Buch S. 125/ 3) und 5)!
Vergleiche anschließend deine Lösung mit der von mir - hake richtige Lösungen ab und verbessere falsche!

Lösung der Aufgaben:

Allgemeine Info zu Aufgabe 3:
In der Regel ist das Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen schneller.
In b), c), g), h) und j) kann man die Brüche nicht in endliche Dezimalbrüche umwandeln. Daher rechnet man hier mit Brüchen!

a)
$0,2 + 0,75 = 0,95$ oder aber auch $\frac {2}{10} + \frac {3}{4} = \frac{4}{20} + \frac{15}{20} = \frac {19}{20}$

b)
$0,2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{10} + \frac {2}{3} = \frac{6}{30} + \frac {20}{30} = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}$

c)
$0,75 - \frac{5}{12} = \frac{3}{4} - \frac{5}{12} = \frac{9}{12} - \frac{5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

d)
$0,75 - \frac{1}{4} = 0,75 - 0,25 = 0,5$ oder aber auch $0,75 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4}= \frac {1}{2}$

e)
$\frac{1}{8} + 0,75 = 0,125 + 0,75 = 0,875$ oder aber auch $\frac{1}{8} + 0,75 = \frac {1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7}{8}$

f)
$\frac{1}{8} + 0,7 = 0,125 + 0,7 = 0,825$ oder aber auch $\frac{1}{8} + 0,7 = \frac{1}{8} + \frac{7}{10} = \frac{5}{40} + \frac{28}{40} = \frac{33}{40}$

g)
$\frac{1}{3} + 0,3 = \frac{1}{3} + \frac{3}{10} = \frac{10}{30} + \frac{9}{30} = \frac{19}{30}$

h)
$0,7 + \frac{1}{15} = \frac{7}{10} + \frac{1}{15} = \frac{21}{30} + \frac{2}{30} = \frac{23}{30}$

i)
$0,9 -\frac{3}{25}= 0,9 - \frac{12}{100} = 0,9 - 0,12 = 0,78$ oder aber auch $0,9 - \frac{3}{25} = \frac{9}{10} - \frac{3}{25} = \frac{45}{50} - \frac{6}{50} = \frac{39}{50}$

j)

$\frac{7}{9} - 0,3 = \frac{7}{9} - \frac{3}{10} = \frac{70}{90} - \frac{27}{90} = \frac{43}{90}$

Lösung der Aufgaben:

a)
Jonas hat mit Brüchen und Linda mit Dezimalbrüchen gerechnet.

b)

(1) Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 15 \cdot 0,7 l } 10,5 l } oder Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 15 \cdot \frac{7}{10} = \rac { 15 \cdot 7}{10} l = \frac{105}{10} l = 10 \frac{5}{10} l = 10 \frac{1}{2} l }

(2) $\frac{1}{8} \cdot 0,75 = \frac{1}{8} \cdot \frac {3}{4} = \frac{3}{32}$ oder aber auch:
$\frac{1}{8} \cdot 0,75 = 0,125 \cdot 0,75 = 0,09375$
Hier würde ich stets das Umrechnen in Brüche wählen, das geht bei dieser Aufgabe bedeutend schneller.

Beim Umrechnen in Dezimalbrüche braucht man zur Berechnung des Endergebnisses erst noch einen Nebenrechnung, diese spart man sich bei der Berechnung mit Brüchen, wodurch sicher Fehler vermieden werden können!