M6 3.2 Multiplizieren von Brüchen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. Januar 2021, 19:34 Uhr

Kürzen beim Multiplizieren von Brüchen

Wie beim Teilen und Vervielfachen kann man auch beim Multiplizieren vor dem Ausmultiplizieren kürzen, damit dir Zahlen nicht so groß werden.

Zur Vertiefung:

Notiere das heutige Datum und löse dann folgende Aufgaben aus dem Buch S. 91/ 12
Vergiss nun bitte vor dem Ausmultiplizieren das Kürzen nicht!

Schicke deine Lösung im Modul Lernen.

Überlege

Wie kannst du folgenden Term berechnen? $1{2 \over 3}\cdot 2{4 \over 5}=$
Öffne die Lösung und schreibe den Merksatz in dein Merkheft.

Multiplizieren von Brüchen in gemischter Schreibweise
Zum Multiplizieren von Brüchen in gemischter Schreibweise werden diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\cdotr“): {\displaystyle 1 {2 \over 3} \cdot 2 {4 \over 5} = {5 \over 3} \cdot{14 \over 5} = {5 \cdot 14 \over 3 \cdotr 5}= {14\over 3} = 4 {1 \over 3} }

1. Übung

B. S. 92/ 20 c), d), g), h) und B. S. 92/ 23 e), f), g), k)

Lösungsvorschlag 92 Aufgabe 20 c, d, g, h und 23 e, f, g, k.jpg

Potenzen

Vor den Ferien haben wir zur Übung Potenzen wiederholt.
Beispiel: $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=16\cdot 4=64$
NEU:
Bruchzahlen können auch als Basis von Potenzen auftreten.

Potenzen bei Bruchzahlen
$({\frac {2}{3}})^{2}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2*2}{3*3}}={\frac {4}{9}}$

({\frac {2}{3}})^{4}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {16}{81}}

Schreibe die Erklärung in dein Merkheft.

2. Übung

Nun bist du dran:
Bearbeite die Aufgabe

Buch S. 92/ 25 a,b
Buch S.92/ 26 a) (3)-(5), b) (1), (3)

S.92/ 25 a) $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4}}={\frac {27}{64}}$
b) $\left({\frac {2}{5}}\right)^{4}={\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}={\frac {16}{625}}$

S.92/ 26 a) (3) $\left({\frac {11}{12}}\right)^{2}={\frac {11}{12}}\cdot {\frac {11}{12}}={\frac {11\cdot 11}{12\cdot 12}}={\frac {121}{144}}$
(4) wie 25 a) $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4}}={\frac {27}{64}}$
(5) $\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}={\frac {16}{81}}$
b)(1) ${\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$

(3)

{\frac {1}{625}}=\left({\frac {1}{25}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{5}}\right)^{4}

Freiwillige weitere Übungen

Hier gibt es Multiplikationen mit drei Brüchen.

S.92/23 b-h

14.01.2021

Überschrift:

Notiere dir "Dividieren von Brüchen" als Überschrift ins Heft!

Übung:

Bearbeite bitte folgende Aufgabe im Schulheft: B. S. 91/ 17!

Nun geht es los mit dem Dividieren von Brüchen

Denke dazu nun zunächst über die folgenden Fragen/ Informationen nach...

Warum kamen beispielsweise bei den beiden Rechenaufgaben von S. 91/ 17 (1) identische Ergebnisse heraus? Die erste Rechnung war eine Division, die zweite Rechnung eine Multiplikation...
Gib die Zahl 4 als unechten Bruch an!

4={\frac {4}{1}}

Damit lässt sich die Aufgabe ${2 \over 3}:4$ um einen hilfreichen Zwischenschritt ergänzen.... Wie könnte dieser lauten?

{\frac {2}{3}}:4={\frac {2}{3}}:{\frac {4}{1}}

Feststellung: Ob man einen Bruch mit $1 \over 4$ multipliziert oder durch $4 \over 1$ dividiert, das Ergebnis ist identisch. Was heißt dies nun konkret für dieser Berechnung der Aufgabe?

{\frac {2}{3}}:4={\frac {2}{3}}:{\frac {4}{1}}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {1}{6}}

Notiere nun bitte das Folgende in dein Schulheft:

{\frac {2}{3}}:4={\frac {2}{3}}:{\frac {4}{1}}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {1}{6}}

Anmerkung: Steht von einem Bruch die Zahl des Zählers im Nenner eines anderen Bruches und gleichzeitig die Zahl des Nenners im Zähler des anderen Bruches, so nennt man diesen Bruch seinen "Kehrbruch" oder auch den "Kehrwert des Bruches", zu

4 \over 1

ist

1 \over 4

der Kehrwert des Bruches - man stellt den Bruch praktisch "auf den Kopf".

Vielleicht hast du bereits eine Idee, wie man Brüche dividiert...Schön ist, dass dir hier dein Wissen zur Multiplikation von Brüchen extrem behilflich sein wird. Schau dir nun bitte das folgende Video an, um deine Vermutung zu bekräftigen! Stoppe das Video an der Stelle ${\frac {7}{12}}:{\frac {3}{16}}$ und berechne die Aufgabe zunächst selbst im Heft! Starte das Video wieder und vergleiche nun mit deiner Lösung.

Dividieren von Brüchen:

Merke:

Schreibe nun bitte folgenden Merksatz ins Schulheft:

Regel über die Division durch einen Bruch:
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Den Kehrwert eines Bruches erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Übung:

Bearbeite bitte folgende Aufgaben im Schulheft: B. S. 96/ 8 m), n), o), p), r), t)
WICHTIG: Kürzen ist nur erlaubt, wenn im Zähler und auch im Nenner Produkte stehen bzw. Zähler und Nenner in Faktoren zerlegt werden können. Bei einem Quotienten, bei einer Summe, bei einer Differenz darf man nie zu Beginn kürzen!

1. Potenzen
Du kannst dich sicherlich noch an Potenzen erinnern, oder?
Erkläre deinem Banknachbarn (mit einem Beispiel) was Potenzen sind.

2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16

NEU: Bruchzahlen können auch als Basis von Potenzen auftreten.

Potenzen bei Bruchzahlen
$({\frac {2}{3}})^{2}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2*2}{3*3}}={\frac {4}{9}}$

({\frac {2}{3}})^{4}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {16}{81}}

Schreibe die Erklärung in dein Merkheft.

Division von Brüchen

Wir üben im Buch. Schnapp dir dein Übungsheft. Notiere das Datum und die Übung, die du erledigst. Schreibe alle Zwischenschritte auf.

S.96/7
S.96/8 2. Zeile
S.96/9
S.96/13
Hier sind die Lösungen für die Aufgaben S.96/7,8,9,13,19

Hier sind zwei Videos zu den Aufgaben 97/19 und 24. In den Videos sind auch Tipps, wie man die Aufgaben löst. Wenn ihr bei einer Aufgabe nicht weitergekommen seid, dann schaut euch eine Teilaufgabe an und probiert die übrigen Aufgaben.

Kontrolle

Kontrolliere heute zunächst, ob du alle Aufgaben diese Woche erledigt hast. Scrolle nach unten und überprüfe das. Falls du etwas nicht erledigt hast, schreibe es dir auf einen Notizzettel und hole es heute nachmittag nach! Heute Abend solltest ALLE Aufgaben dieser Woche erledigt haben, dann hast du das Wochenende frei.

Merke

In Kahoot hast du gestern mit der Null gerechnet. Die Rechenregeln solltest du noch kennen. Sie gelten auch für Brüche. Notiere sie dir nochmal im Merkheft. Finde zu jedem Merksatz ein Beispiel und schreibe das dazu.

Rechnen mit der Null
1) Ist ein Faktor 0, so ist das Produkt 0.
2) Wenn man Null durch eine andere Zahl dividiert, so erhält man das Ergebnis 0.

3) Durch 0 kann man NICHT dividieren.

Doppelbrüche

Nun gibt es etwas völlig abgefahrenes für euch ;-) Schaue das Video an.

Merke

Schreibe nun den Merksatz auf

Doppelbruch
Ein Doppelbruch steht für einen Quotienten aus zwei Brüchen.
Im Zähler oder Nenner stehen also nochmal Brüche. Der Hauptbruchstrich ist etwas länger und ersetzt das Divisionszeichen zwischen den beiden Brüchen.

{\frac {\frac {1}{3}}{\frac {2}{7}}}={\frac {1}{3}}:{\frac {2}{7}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {7}{2}}={\frac {7}{6}}=1{\frac {1}{6}}

Aufgabe

Mache ein Bild von deinem Hefteintrag heute und lade es im Modul Lernen hoch

Übung 1

Der Merksatz ist nun im Heft. Jetzt muss er nur noch in euren Kopf. Dafür üben wir.
Heute gibt es mal wieder eine Anton-Übung. Übe im Kapitel "Brüche multiplizieren und dividieren" die Kapitel "Brüche dividieren" und "Doppelbrüche".

FREIWILLIGE ÜBUNG: du kannst noch ein paar Münzen sammeln, wenn du das Kapitel fertig machst.

Übung 2

Bearbeite im Übungsheft: * S.98/30 a-d

S.98/31 a-d

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 |3= Üben}}
-{{Box|1=Überlege|
+{{Box|1=Überlege |2=Wie kannst du folgenden Term berechnen?
-Wie kannst du folgenden Term berechnen?
+<math> 1 {2 \over 3} \cdot 2 {4 \over 5} =</math> <br>
-<math> 1 {2 \over 3} \cdot 2 {4 \over 5} =</math>
 Öffne die Lösung und schreibe den Merksatz in dein Merkheft.
 {{Lösung versteckt|1='''Multiplizieren von Brüchen in gemischter Schreibweise''' <br> Zum Multiplizieren von Brüchen in gemischter Schreibweise werden diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt.
 <math> 1 {2 \over 3} \cdot 2 {4 \over 5} =  {5 \over 3} \cdot{14 \over 5} = {5 \cdot 14 \over 3 \cdotr 5}= {14\over 3} = 4 {1 \over 3} </math>
-|2= Lösunf aufdecken | 3= Merksatz verbergen}}
+|2= Lösung und Merksatz aufdecken | 3= Merksatz verbergen}}|3=Frage}}
-|Frage}}
-{{Box|1= Übung:| 2= Bearbeite bitte folgende Aufgaben im Schulheft: B. S. 92/ 20 c), d), g), h) und B. S. 92/ 23 e), f), g), k)
+{{Box|1= 1. Übung| 2=  B. S. 92/ 20 c), d), g), h) und B. S. 92/ 23 e), f), g), k)
 {{Lösung versteckt |1=[[Datei:Lösungsvorschlag 92 Aufgabe 20 c, d, g, h und 23 e, f, g, k.jpg]] |2= Lösung Aufgabe 20 c), c), g), h) und 23 e), f), g), k) anzeigen | 3= Lösung verbergen}} |3= Üben}}
-{{Box|1=Wiederholung|2= Sicher weißt du noch, was eine Potenz ist und dass man diese nutzt, um Produkte verkürzt notieren zu können... siehe Beispiel: <math> 4^3 = 4 \cdot 4\cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 </math> <br>
+{{Box|1= Potenzen|2=
+Vor den Ferien haben wir zur Übung Potenzen wiederholt. <br>
-Nun bist du dran!
+Beispiel: <math> 4^3 = 4 \cdot 4\cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 </math> <br>
-Bearbeite die Aufgabe in deinem Schulheft! <br> Berechne folgende Potenzen! Schreibe dazu zuerst als Produkt! <br>
+NEU:<br>
+Bruchzahlen können auch als Basis von Potenzen auftreten. <br>
-a) <math> 5^3 </math>     b) <math> 2^6 </math>     c) <math> 6^2 </math>
 {{Lösung versteckt|1=
-a) <math> 5^3 = 5 \cdot 5\cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125 </math>    <br>
+<u>Potenzen bei Bruchzahlen</u><br>
-b) <math> 2^6  = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot ( 2 \cdot 2) = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 </math>    <br>
+<math> (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2*2}{3*3} = \frac{4}{9}</math><br>
-c) <math> 6^2 = 6 \cdot 6 = 36  </math>    <br>
+<math> (\frac{2}{3})^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{81}</math>
+|2=Erklärung anzeigen|3=Verbergen}}
+Schreibe die Erklärung in dein Merkheft.
+|3=Merksatz}}
- |2=Aufdecken|3=Verbergen}}
-|3=Üben}}
+{{Box|1=2. Übung |2=
-{{Box|1=Übung: |2= Sicher hast du dir nun schon gedacht, dass man auch Brüche in Potenzschreibweise darstellen kann... zum Beispiel: <math>\left ( \frac{5}{6} \right )^3=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{5\cdot 5 \cdot 5}{6 \cdot 6 \cdot 6}=\frac{125}{216} </math> <br>
 Nun bist du dran: <br>
-Bearbeite die Aufgabe B. S. 92/ 25 b), c) im Schulheft! <br>
+Bearbeite die Aufgabe
+#Buch S. 92/ 25 a,b
+#Buch S.92/ 26 a) (3)-(5), b) (1), (3) <br>
 {{Lösung versteckt|1=
-S.92/ 25 b) <math>\left ( \frac{2}{5} \right )^4=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}=\frac{16}{625} </math>   <br>
+S.92/ 25
-S. 92/ 25 c) <math>\left ( \frac{8}{9} \right )^2=\frac{8}{9}\cdot \frac{8}{9} = \frac{8\cdot 8 }{9 \cdot 9}=\frac{64}{81} </math>   <br>
+a) <math>\left ( \frac{3}{4} \right )^3=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3\cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4}=\frac{27}{64} </math>   <br>
+b) <math>\left ( \frac{2}{5} \right )^4=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}=\frac{16}{625} </math>   <br>
+S.92/ 26
+a) (3) <math>\left ( \frac{11}{12} \right )^2=\frac{11}{12}\cdot \frac{11}{12}= \frac{11\cdot 11}{12 \cdot 12}=\frac{121}{144} </math>   <br>
+(4) wie 25 a) <math>\left ( \frac{3}{4} \right )^3=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3\cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4}=\frac{27}{64} </math>   <br>
+(5) <math>\left ( \frac{2}{3} \right )^4=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}=\frac{16}{81} </math>   <br>
+b)(1) <math>\frac{4}{9}=\left ( \frac{2}{3} \right )^2</math>
+(3) <math>\frac{1}{625}=\left ( \frac{1}{25} \right )^2=\left ( \frac{1}{5} \right )^4</math>
   |2=Aufdecken|3=Verbergen}}
 |3=Üben}}
-{{Box|1=Test = Hausaufgabe für heute: |2= Nun stellt sich die Frage, ob du eine mögliche Notation als Potenz auch erkennen kannst... zum Beispiel: <math> \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \left ( \frac{5}{6} \right )^3 </math> oder auch <math> \frac{125}{216}= \frac{5\cdot 5 \cdot 5}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \left ( \frac{5}{6} \right )^3 </math> <br>
+{{Box|1=Freiwillige weitere Übungen|2=
-Du hast sicher gemerkt, dass es sich hierbei um mein Beispiel der vorherigen Übung handelt, nur eben von rechts nach links und nicht von links nach rechts gelesen...
+Hier gibt es Multiplikationen mit drei Brüchen. <br>
+S.92/23 b-h
-Nun bist du wieder an der Reihe: <br>
+|3= Üben}}
-Bearbeite die Aufgabe B. S. 92/ 26 a) (2), (5) und S. 92/ 26 b) (1), (3) im Schulheft! <br>
-'''Bevor du dir hier die Lösung anschaust, mach bitte ein Foto deiner Lösung und lade diese im Schulmanager hoch. Danke!'''
-{{Lösung versteckt|1=
-S.92/ 26 a) <br>
-(2) <math>\frac{7}{8}\cdot \frac{7}{8} = \frac{7\cdot 7}{8 \cdot 8}= \frac{49}{64} = \left ( \frac{7}{8} \right )^2 </math>   <br>
-(5) <math> \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}= \frac{16}{81} \left ( \frac{2}{3} \right )^4 </math> <br>
-S. 92/ 26 b) <br>
-(1) <math> \frac{4}{9}= \frac{2\cdot 2 }{3 \cdot 3} = \left ( \frac{2}{3} \right )^2 </math>   <br> Der Trick bei der Lösung dieser Aufgabe besteht darin zum einen den Zähler in gleiche Faktoren und zum anderen den Nenner in gleiche Faktoren zu zerlegen. <br>
-(3)
-. Möglichkeit:   <math> \frac{1}{625}= \frac{1\cdot 1 }{25 \cdot 25} = \left ( \frac{1}{25} \right )^2 </math> oder
-. Möglichkeit:  <math> \frac{1}{625}= \frac{1\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 }{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \left ( \frac{1}{5} \right )^4 </math>
- |2=Aufdecken|3=Verbergen}}
-|3=Üben}}
 ==14.01.2021==
@@ Zeile 127: / Zeile 112: @@
 Schreibe die Erklärung in dein Merkheft.
-==Division von Brüchen ==
+==Division von Brüchen==
 Wir üben im Buch. Schnapp dir dein Übungsheft. Notiere das Datum und die Übung, die du erledigst. Schreibe alle Zwischenschritte auf.
-* S.96/7
-* S.96/8 2. Zeile
+*S.96/7
-* S.96/9
+*S.96/8 2. Zeile
-* S.96/13 <br>
+*S.96/9
-* Hier sind die Lösungen für die Aufgaben S.96/7,8,9,13,19
+*S.96/13 <br>
+*Hier sind die Lösungen für die Aufgaben S.96/7,8,9,13,19
 {{Lösung versteckt|1=[[Datei:LösungS96.png]]|2=Aufdecken|3=Verbergen}}
-* Hier sind zwei Videos zu den Aufgaben 97/19 und 24. In den Videos sind auch Tipps, wie man die Aufgaben löst. Wenn ihr bei einer Aufgabe nicht weitergekommen seid, dann schaut euch eine Teilaufgabe an und probiert die übrigen Aufgaben.<br>
+*Hier sind zwei Videos zu den Aufgaben 97/19 und 24. In den Videos sind auch Tipps, wie man die Aufgaben löst. Wenn ihr bei einer Aufgabe nicht weitergekommen seid, dann schaut euch eine Teilaufgabe an und probiert die übrigen Aufgaben.<br>
 [[Datei:97-21.mov|97-21.mov]]<br><br>
 [[Datei:97Übung.mov]]<br><br>

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