Mathematik 5/Primzahlen und Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Liebe 5d,
====''' Primzahlen'''====


da letzte Woche einige schon die Übungen bearbeitet haben, bevor ich überhaupt mit meiner Erklärung fertig war, könnt ihr die Übungen heute erst in der 3. Stunde sehen.
{{Box|1=Was ist eine Primzahl?|2=
 
Eine Zahl heißt ''Primzahl'', wenn sie genau zwei Teiler hat, die "Eins" und sich selbst.
 
<u>Beispiele</u>:
 
Ist 97 eine Primzahl?<br>
 
Gehe die möglichen Teiler durch. Geschicktes Überlegen spart dabei viel Arbeit.<br>
 
*2 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 2, also 4; 6; 8; 10;... keine Teiler von 97.
*3 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 3, also 6; 9; 12;... keine Teiler von 97.
*5 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 5, also 10; 15; 20;... keine Teiler von 97.
*7 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 7 = 13 Rest 6.
*11 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 11 = 8 Rest 9.
 
Zahlen, die größer als 11 sind, braucht man als Teiler nicht mehr ausprobieren. Die Zahlen bis 10 sind schon überprüft.
 
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{{Box|Wie findet man Primzahlen?|
 
Ein Weg ist das "Sieb des Erathostenes". Mit diesem [https://compulearnonline.de/mathematik/berechnungen/sieb-des-eratosthenes/ Link] gelangst du zu einer Seite, auf der dir eine Animation zeigt, was es mit dem Sieb des Erathostenes auf sich hat. Klicke auf "Animation starten" und verfolge die Erklärung rechts neben dem Hunderterfeld. Den Rest der Seite brauchst du nicht lesen.
 
|Kurzinfo}}
 
{{Box|Aufgabe|Finde alle Primzahlen von 1 bis 100.
In der folgenden App kannst du selbst "sieben wie Erathostenes" und die Primzahlen bis 100 finden. Mit den roten Schiebereglern links kannst du die Vielfachen von 2, 3, 5 ... markieren. Alle Zahlen ab 2, die nicht markiert sind, sind Primzahlen.
|Üben}}
 
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{{Box|Hefteintrag|
 
Schreibe alle Primzahlen bis 50 in dein Merkheft. Nutze dafür für jede Zehnerreihe im Sieb des Erathostenes eine neue Zeile (1. Zeile alle einstelligen Primzahlen, 2. Zeile alle Primzahlen mit 1 als Zehnerziffer...)
 
|Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|Übung: Primzahlen|Wende dein Wissen über die Primzahlen an und löse Aufgabe 4 auf Seite 111.|Üben
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{{Lösung versteckt|
*''Es gibt keine geraden Primzahlen.'' ist falsch, da die 2 eine gerade Zahl und die kleinste Primzahl ist.
*''Es gibt nur zwei Primzahlen, deren Differenz 1 ist.'' ist richtig. Nur die 2 und die 3 haben sind Primzahlen mit der Differenz 1. Bei allen anderen aufeinanderfolgenden Zahlen (denn das bedeutet ja Differenz 1) ist eine der beiden Zahlen gerade, also keine Primzahl.
*''Es gibt keine Primzahlen, deren Differenz 3 ist.'' ist falsch, denn die Differenz der Primzahlen 5 und 2 ist 3.
*''Eine Primzahl kann Teiler einer anderen Primzahl sein.''ist falsch, da eine Primzahl nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler hat, also keine andere Primzahl als Teiler möglich ist.
|Lösung einblenden|Lösung ausblenden}}
 
====''' Primfaktorzerlegung'''====
{{Box|1=Info|2=
 
Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Faktoren nennt man Faktorisieren.
 
Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt aus Primzahlen nennt man '''Primfaktorzerlegung'''.
 
<u>Beispiel</u>: Die Zahl 72 soll in Primfaktoren zerlegt werden:
 
72 =  9  ·  8 <br>
72 = 3 · 3 ·  8 <br>
72 = 3 · 3 · 2 ·  4 <br>
72 = 3 · 3 · 2 · 2 ·  2 <br>
 
Die ersten 3 Zeilen zeigen Faktorisierungen von 72, die 4. Zeile ist eine Primfaktorzerlegung.
 
Meist gibt man die Primfaktorzerlegung so an, dass die Faktoren vom kleinsten zum größten sortiert werden. Hier also:
 
72 = 2 · 2 ·  2 · 3 · 3
|3=Kurzinfo}}
 
Du bist noch unsicher? Dann schau dir das folgende Video an:{{#ev:youtube|7Z-bwJ5F6-M}}
 
{{Box|Aufgabe|
 
Finde die Primfaktorzerlegung der Zahl 90. Orientiere dich bei der Schreibweise an den Beispielen im 2. roten Kasten auf Seite 110.
 
Lade deine Lösung im Modul Lernen hoch, '''sobald du die Aufgabe bearbeitet hast'''! Ich möchte sicher sein, dass deine Schreibweise richtig ist.
 
|Üben}}
 
{{Box|Aufgabe|Bearbeite nun von Aufgabe 7 auf Seite 111 die Teilaufgaben a, b, c, d, i und p.
 
Deine Lösungen, kannst Du mit folgendem [https://rechneronline.de/primfaktoren/ Primzahlfaktorenrechner] überprüfen. Nicht mogeln!!!
 
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{{Box|ANTON|
 
In ANTON wartet ein Pin auf dich. Aufgaben mit Potenzen kannst du auslassen oder schon mal für Donnerstag vordenken. Denn dann kümmern wir uns um Potenzen, die eine andere Zahl als die 10 als Basis haben.
 
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{{Box|Hausaufgabe|
 
Suche ganz vorne in deinem Merkheft: Was ist eine Potenz? Wiederhole die drei Fachbegriffe.
 
|Hervorhebung1}}
 
{{Box|Für Schnelle|
Wer schafft es, die Zahlen 2501 und 2021 (das heutige Datum) in Primfaktoren zu zerlegen? Schicke mir ein Foto deiner Lösung (nicht nur das Ergebnis) und sammle einen Fleißpunkt.
 
<u>Tipp</u>: In beiden Fällen ist eine Primzahlen eine Zahl zwischen 40 und 50.
 
|Hervorhebung2}}

Aktuelle Version vom 25. Januar 2021, 08:46 Uhr

Primzahlen

Was ist eine Primzahl?

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat, die "Eins" und sich selbst.

Beispiele:

Ist 97 eine Primzahl?

Gehe die möglichen Teiler durch. Geschicktes Überlegen spart dabei viel Arbeit.

  • 2 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 2, also 4; 6; 8; 10;... keine Teiler von 97.
  • 3 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 3, also 6; 9; 12;... keine Teiler von 97.
  • 5 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 5, also 10; 15; 20;... keine Teiler von 97.
  • 7 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 7 = 13 Rest 6.
  • 11 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 11 = 8 Rest 9.
Zahlen, die größer als 11 sind, braucht man als Teiler nicht mehr ausprobieren. Die Zahlen bis 10 sind schon überprüft.


Wie findet man Primzahlen?


Ein Weg ist das "Sieb des Erathostenes". Mit diesem Link gelangst du zu einer Seite, auf der dir eine Animation zeigt, was es mit dem Sieb des Erathostenes auf sich hat. Klicke auf "Animation starten" und verfolge die Erklärung rechts neben dem Hunderterfeld. Den Rest der Seite brauchst du nicht lesen.


Aufgabe

Finde alle Primzahlen von 1 bis 100. In der folgenden App kannst du selbst "sieben wie Erathostenes" und die Primzahlen bis 100 finden. Mit den roten Schiebereglern links kannst du die Vielfachen von 2, 3, 5 ... markieren. Alle Zahlen ab 2, die nicht markiert sind, sind Primzahlen.

GeoGebra


Hefteintrag


Schreibe alle Primzahlen bis 50 in dein Merkheft. Nutze dafür für jede Zehnerreihe im Sieb des Erathostenes eine neue Zeile (1. Zeile alle einstelligen Primzahlen, 2. Zeile alle Primzahlen mit 1 als Zehnerziffer...)


Übung: Primzahlen
Wende dein Wissen über die Primzahlen an und löse Aufgabe 4 auf Seite 111.
  • Es gibt keine geraden Primzahlen. ist falsch, da die 2 eine gerade Zahl und die kleinste Primzahl ist.
  • Es gibt nur zwei Primzahlen, deren Differenz 1 ist. ist richtig. Nur die 2 und die 3 haben sind Primzahlen mit der Differenz 1. Bei allen anderen aufeinanderfolgenden Zahlen (denn das bedeutet ja Differenz 1) ist eine der beiden Zahlen gerade, also keine Primzahl.
  • Es gibt keine Primzahlen, deren Differenz 3 ist. ist falsch, denn die Differenz der Primzahlen 5 und 2 ist 3.
  • Eine Primzahl kann Teiler einer anderen Primzahl sein.ist falsch, da eine Primzahl nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler hat, also keine andere Primzahl als Teiler möglich ist.

Primfaktorzerlegung

Info

Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Faktoren nennt man Faktorisieren.

Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt aus Primzahlen nennt man Primfaktorzerlegung.

Beispiel: Die Zahl 72 soll in Primfaktoren zerlegt werden:

72 = 9 · 8
72 = 3 · 3 · 8
72 = 3 · 3 · 2 · 4
72 = 3 · 3 · 2 · 2 · 2

Die ersten 3 Zeilen zeigen Faktorisierungen von 72, die 4. Zeile ist eine Primfaktorzerlegung.

Meist gibt man die Primfaktorzerlegung so an, dass die Faktoren vom kleinsten zum größten sortiert werden. Hier also:

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Du bist noch unsicher? Dann schau dir das folgende Video an:

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YouTube


Aufgabe


Finde die Primfaktorzerlegung der Zahl 90. Orientiere dich bei der Schreibweise an den Beispielen im 2. roten Kasten auf Seite 110.

Lade deine Lösung im Modul Lernen hoch, sobald du die Aufgabe bearbeitet hast! Ich möchte sicher sein, dass deine Schreibweise richtig ist.


Aufgabe

Bearbeite nun von Aufgabe 7 auf Seite 111 die Teilaufgaben a, b, c, d, i und p.

Deine Lösungen, kannst Du mit folgendem Primzahlfaktorenrechner überprüfen. Nicht mogeln!!!


ANTON


In ANTON wartet ein Pin auf dich. Aufgaben mit Potenzen kannst du auslassen oder schon mal für Donnerstag vordenken. Denn dann kümmern wir uns um Potenzen, die eine andere Zahl als die 10 als Basis haben.


Hausaufgabe


Suche ganz vorne in deinem Merkheft: Was ist eine Potenz? Wiederhole die drei Fachbegriffe.


Für Schnelle

Wer schafft es, die Zahlen 2501 und 2021 (das heutige Datum) in Primfaktoren zu zerlegen? Schicke mir ein Foto deiner Lösung (nicht nur das Ergebnis) und sammle einen Fleißpunkt.

Tipp: In beiden Fällen ist eine Primzahlen eine Zahl zwischen 40 und 50.

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