Mathematik 12/Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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::#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
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::#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
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Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
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Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
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Version vom 18. Februar 2020, 08:57 Uhr

Das Flächenproblem
Integral Grundstück.png
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.


Unter- und Obersumme
Int abb1.png
Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
  1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
  3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.

Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.

Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte: 

x   : 0   0,5      1    1,5   2   2,5      3     3,5   4
---------------------------------------------------------
f(x): 0  0,0625  0,25  05625  1  1,5625  2,25  3,0625  4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375


Int abb1.png


Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
  1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
  3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
  4. Lösung:

<popup name="Lösung"> Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.
Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte: 

 x  |  0    0,5     1    1,5    2   2,5     3      3,5    4
-----------------------------------------------------------
f(x)|  0  0,0625  0,25  0,5625  1  1,5625  2,25  3,0625   4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375 </popup>


Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
  1. Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.


GeoGebra
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