5d 2020 21/Primfaktorzerlegung

Primzahlen

Was ist eine Primzahl?

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat, die "Eins" und sich selbst.

Beispiele:

Ist 97 eine Primzahl?

Gehe die möglichen Teiler durch. Geschicktes Überlegen spart dabei viel Arbeit.

• 2 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 2, also 4; 6; 8; 10;... keine Teiler von 97.
• 3 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 3, also 6; 9; 12;... keine Teiler von 97.
• 5 ist kein Teiler von 97. Deshalb sind auch die Vielfachen von 5, also 10; 15; 20;... keine Teiler von 97.
• 7 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 7 = 13 Rest 6.
• 11 ist kein Teiler von 97. Denn 97 : 11 = 8 Rest 9.

Zahlen, die größer als 11 sind, braucht man als Teiler nicht mehr ausprobieren. Die Zahlen bis 10 sind schon überprüft.

Wie findet man Primzahlen?

Ein Weg ist das "Sieb des Erathostenes". Mit diesem Link gelangst du zu einer Seite, auf der dir eine Animation zeigt, was es mit dem Sieb des Erathostenes auf sich hat. Klicke auf "Animation starten" und verfolge die Erklärung rechts neben dem Hunderterfeld. Den Rest der Seite brauchst du nicht lesen.

Aufgabe

Finde alle Primzahlen von 1 bis 100. In der folgenden App kannst du selbst "sieben wie Erathostenes" und die Primzahlen bis 100 finden. Mit den roten Schiebereglern links kannst du die Vielfachen von 2, 3, 5 ... markieren. Alle Zahlen ab 2, die nicht markiert sind, sind Primzahlen.

Hefteintrag

Schreibe alle Primzahlen bis 50 in dein Merkheft. Nutze dafür für jede Zehnerreihe im Sieb des Erathostenes eine neue Zeile (1. Zeile alle einstelligen Primzahlen, 2. Zeile alle Primzahlen mit 1 als Zehnerziffer...)

Übung: Primzahlen

Wende dein Wissen über die Primzahlen an und löse Aufgabe 4 auf Seite 111.

• Es gibt keine geraden Primzahlen ist falsch, da die 2 eine gerade Zahl und die kleinste Primzahl ist.
• Es gibt nur zwei Primzahlen, deren Differenz 1 ist ist richtig. Nur die 2 und die 3 haben sind Primzahlen mit der Differenz 1. Bei allen anderen aufeinanderfolgenden Zahlen (denn das bedeutet ja Differenz 1) ist eine der beiden Zahlen gerade, also keine Primzahl.
• Es gibt keine Primzahlen, deren Differenz 3 ist. ist falsch, denn die Differenz der Primzahlen 5 und 2 ist 3.
• Eine Primzahl kann Teiler einer anderen Primzahl sein.ist falsch, da eine Primzahl nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler hat, also keine andere Primzahl als Teiler möglich ist.

Primfaktorzerlegung

Info

Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Faktoren nennt man Faktorisieren.

Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt aus Primzahlen nennt man Primfaktorzerlegung.

Beispiel: Die Zahl 72 soll in Primfaktoren zerlegt werden:

72 = 9 · 8
72 = 3 · 3 · 8
72 = 3 · 3 · 2 · 4
72 = 3 · 3 · 2 · 2 · 2

Die ersten 3 Zeilen zeigen Faktorisierungen von 72, die 4. Zeile ist eine Primfaktorzerlegung.

Meist gibt man die Primfaktorzerlegung so an, dass die Faktoren vom kleinsten zum größten sortiert werden. Hier also:

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Schau dir das folgende Video an:

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Aufgabe

Lies dir den grünen Kasten auf Seite 36 durch und bearbeite im Anschluss

Nr. 10
Nr. 11

Nr. 12

Deine Lösungen von Nummer 10, kannst Du mit folgendem Primzahlfaktorenrechner überprüfen:

https://rechneronline.de/primfaktoren/

Nr. 11
a) 70
b) 210
c) 950

Nr. 12
a) Nein, hier ist eine 2 zu viel. b) Das Ergebnis ist richtig
c) Das Ergebnis ist richtig
d) Nein, die Primfaktorzerlegung müsste lauten: 2 · 2 · 2 · 2 · 11

Sprinteraufgabe:

Bearbeite die Aufgabe unten auf der Seite unter den Beispielen

https://www.gut-erklaert.de/mathematik/primfaktorzerlegung-primfaktoren.html