Mathematik 12/Integralrechnung

Das Flächenproblem

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.

Unter- und Obersumme

Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².

1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.

Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².

1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
4. Lösung:

<popup name="Lösung"> Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.
Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:

 x  |  0    0,5     1    1,5    2   2,5     3      3,5    4
-----------------------------------------------------------
f(x)|  0  0,0625  0,25  0,5625  1  1,5625  2,25  3,0625   4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) $\cdot$ 0,5 + f (1) $\cdot$ 0,5 + .....f (4) $\cdot$ 0,5 = 0,5 $\cdot$f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) $\cdot$ 0,5 + f (0,5) $\cdot$ 0,5 + .....f (3,5) $\cdot$ 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375 </popup>

Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².

1. Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.